2004研究生数学二真题及详解(3)

f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?0,

x?0由极限的性质, ???0, 使x??时, 有

f(x)?f(0)?0

x即??x?0时, f(x)?f(0)，

0时, f(x)?f(0), ???x?故选（C）.

（11）?A?

【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式. 【详解】对应齐次方程 y???y?0 的特征方程为 ??1?0, 特征根为 ???i,

对 y???y?x2?1?e0(x2?1) 而言, 因0不是特征根, 从而其特解形式可设为

? y1?ax2?bx?c

2对 y???y?sinx?Im(eix), 因i为特征根, 从而其特解形式可设为

? y2?x(Asinx?Bcosx)

从而 y???y?x2?1?sinx 的特解形式可设为 y?ax?bx?c?x(Asinx?Bcosx)

（12）?D?2?

【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.

【详解】积分区域见图. 在直角坐标系下,

y21?(y?1)22??f(xy)dxdy??0dy??1?(y?1)Df(xy)dx

2??11o1x ???1dx?1?1?x11?1?x22f(xy)dy

故应排除（A）、（B）.

?x?rcos?在极坐标系下, ? ,

y?rsin??

??Df(xy)dxdy??d??0?2sin?0f(r2sin?cos?)rdr,

故应选（D）.

（13）

?D?

【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.

?010??100?????【详解】由题意 B?A?100?, C?B?011?,

?001??001??????010??100??011??????? ?C?A?100??011??A?100??AQ,

?001??001??001????????011???从而 Q??100?,故选（D）.

?001???（14）?A?

【分析】将A写成行矩阵, 可讨论A列向量组的线性相关性.将B写成列矩阵, 可讨论

B行向量组的线性相关性.

【详解】设 A?(aij)l?m,B?(bij)m?n, 记 A??A1A2Am?

?b11b12?bb22Am??21?????b?m1bm2bn1??bn2? ???bmn??AB?0 ? ?A1A2 ??b11A1??bm1Amb1nA1??bmnAm??0 （1）

由于B?0, 所以至少有一 bij?0(1?i?m,1?j?n), 从而由（1）知, b1jA1?b2jA2?于是 A1,A2,?bijAi??bm1Am?0,

,Am线性相关.

?B1???B2?又记 B??,

????B???m??a11a12?a21a22? ?????al1al2?am1??B1??a11B1?a1B2?2?amB1m????am2??B2??a21B1?a2B2?2?amB2m?????0

??????????B????al1B1?alB?alm???aB22lmm???m??则AB?0 ?由于A?0,则至少存在一 aij?0(1?i?l,1?j?m),使 ai1B1?ai2B2?aijBj?从而 B1,B2,故应选（A）. 三. 解答题

（15）【分析】此极限属于

?aimBm?0,

,Bm线性相关,

0型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解. 0【详解1】 原式?limx?0e?2?cosx?xln??3???1x3

?2?cosx?ln??3??

?limx?0x2ln（2?cosx）?ln3

x?0x21（??sinx）2?cosx ?lim x?02x11sinx1??? ??lim2x?02?cosxx6 ?lim【详解2】 原式?limx?0e?2?cosx?xln??3???1x3

?2?cosx?ln??3??

?lim2x?0xcosx?1）3 ?lim 2x?0xcosx?11?? ?lim

x?03x26ln（1?

（16）【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论. 【详解】(Ⅰ)当?2?x?0,即0?x?2?2时,

f(x)?kf(x?2)?k(x?2)[(x?2)2?4]?kx(x?2)(x?4). (Ⅱ)由题设知 f(0)?0.

f(x)?f(0)x(x2?4)?(0)?lim? f??lim???4

x?0x?0x?0x?(0)?lim? f?x?0f(x)?f(0)kx(x?2)(x?4)?lim??8k. x?0x?0x令f??(0)?f??(0), 得k??即当k??1. 21时, f(x)在x?0处可导. 2（17）【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.

【详解】 (Ⅰ) f(x??)?设t?u??, 则有

f(x??)??x??x?3?2sintdt,

?xx??2sin(u??)du??x?x?2sinudu?f(x),

故f(x)是以?为周期的周期函数.

(Ⅱ)因为sinx在(??,??)上连续且周期为?, 故只需在[0,?]上讨论其值域. 因为 f?(x)?sin(x??2)?sinx?cosx?sinx,

令f?(x)?0, 得x1??4, x2?3?, 且 43?445?5? f(?4)???sitnd?t, 2

?3?4f()??3?sintdt??3?sintdt??4sintdt?2?2, ?444?又 f(0)??02sintdt?1, f(?)??3?2?(?sint)dt?1,

?f(x)的最小值是2?2, 最大值是2, 故f(x)的值域是[2?2,2].

（18）【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是t的函数,然后计算它们之间的关系.

【详解】 (Ⅰ)S(t)??0t2?y1?y?2dx

t?ex?e?x?e2x?2?e?2xdx ?2????1?024???ex?e?x? ?2????dx, 02??t2?ex?e?x?2 V(t)???ydx?????dx, 002??tt2 ?S(t)?2. V(t)2x?t(Ⅱ)F(t)??y?et?e?t?????,

?2?t22?ex?e?x?2????dx02S(t)?? lim ?limt???F(t)t???t?t2?e?e????2???et?e?t?2??2?? ?lim ?tt?tt????t???e?ee?e2?????2??2?2