2004研究生数学二真题及详解

考硕数学（二）真题

一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）

（1）设f(x)?lim(n?1)x, 则f(x)的间断点为x? .

n??nx2?13??x?t?3t?1（2）设函数y(x)由参数方程 ? 确定, 则曲线y?y(x)向上凸的x取值

3??y?t?3t?1范围为____..

（3）

?1??dxxx?12?_____..

?z?z??______. ?x?y（4）设函数z?z(x,y)由方程z?e2x?3z?2y确定, 则3（5）微分方程(y?x3)dx?2xdy?0满足y?x?16的特解为_______. 5?210???（6）设矩阵A??120?, 矩阵B满足ABA??2BA??E, 其中A?为A的伴随矩

?001???阵, E是单位矩阵, 则B?______-.

二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把x?0时的无穷小量????0xcostdt, ???0tantdt, ???2x2x0sint3dt排

列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是

（A）?,?,?. （B）?,?,?.

（C）?,?,?. （D）?,?,?. （8）设f(x)?x(1?x), 则

（A）x?0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点. （B）x?0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （C）x?0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （D）x?0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线y?f(x)的拐点.

??

??

（9）limlnn(1?)(1?)n??1n22n2n(1?)2等于

n21（A）（C）2?12ln2xdx. （B）2?lnxdx.

22?1ln(1?x)dx. （D）?1ln2(1?x)dx ??

（10）设函数f(x)连续, 且f?(0)?0, 则存在??0, 使得

（A）f(x)在(0,?)内单调增加. （B）f(x)在(??,0)内单调减小. （C）对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0).

（D）对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0). （11）微分方程y???y?x2?1?sinx的特解形式可设为

（A）y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bcosx). （B）y??x(ax2?bx?c?Asinx?Bcosx). （C）y??ax2?bx?c?Asinx.

（D）y??ax2?bx?c?Acosx （12）设函数f(u)连续, 区域D?(x,y)x?y?2y, 则

1?x2??

??

?22???f(xy)dxdy等于

D（A）

??1dx??1?x?0dy?0?212f(xy)dy. f(xy)dx.

（B）2（C）（D）

2y?y2?0d??2sin?02sin?0f(r2sin?cos?)dr.

f(r2sin?cos?)rdr

?0?d????

（13）设A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ?C的可逆矩阵Q为

?010??010?????（A）?100?. （B）?101?.

?101??001??????010??011?????（C）?100?. （D）?100?.

?011??001?????（14）设A,B为满足AB?0的任意两个非零矩阵, 则必有

（A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.

（D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.

??

??

三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）

（15）（本题满分10分）

1求极限lim3x?0x

??2?cosx?x?????1?.

3??????（16）（本题满分10分）

设函数f(x)在（??,??）上有定义, 在区间[0,2]上, f(x)?x(x2?4), 若对任意的x都满足f(x)?kf(x?2), 其中k为常数.

(Ⅰ)写出f(x)在[?2,0]上的表达式; (Ⅱ)问k为何值时, f(x)在x?0处可导.

（17）（本题满分11分） 设f(x)?

（18）（本题满分12分）

?xx??2sintdt,(Ⅰ)证明f(x)是以?为周期的周期函数;(Ⅱ)求f(x)的值域.

ex?e?x曲线y?与直线x?0,x?t(t?0)及y?0围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x2轴旋转一周得一旋转体, 其体积为V(t), 侧面积为S(t), 在x?t处的底面积为F(t).

(Ⅰ)求

S(t)S(t)的值; (Ⅱ)计算极限lim.

t???V(t)F(t)22（19）（本题满分12分）设e?a?b?e2, 证明lnb?lna?4(b?a). e2

（20）（本题满分11分）

某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为

700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

注 kg表示千克,km/h表示千米/小时.

（21）（本题满分10分）设z?f(x2?y2,exy),其中f具有连续二阶偏导数,求

?z?z?2z. ,,?x?y?x?y

（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组

?(1?a)x1?x2?x3?x4?0,?2x?(2?a)x?2x?2x?0,?1234 ?3x?3x?(3?a)x?3x?0,234?1??4x1?4x2?4x3?(4?a)x4?0,试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.

（23）（本题满分9分）

?12?3???设矩阵??14?3?的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角

?1a5???化.

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数学二试题解析

一. 填空题

（1）0 .

【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x,先用求极限的方法得出f(x)的表达式, 再讨论f(x)的间断点.

【详解】显然当x?0时,f(x)?0;

1(1?)x(n?1)xn?x?1, 当x?0时, f(x)?lim?lim2n??nx2?1n??1xx2x?n?0,x?0?所以 f(x)??1,

,x?0??x因为 limf(x)?limx?01???f(0) x?0x故 x?0为f(x)的间断点.

（2）（??，1）（或（-?，1]）.

?x?x(t)【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ?

y?y(t)?d2yd2yy??(t)x?(t)?x??(t)y?(t)定义的 求出二阶导数,再由 2?0 确定x的取值范围. ?23dxdx(x?(t))dydy3t2?3t2?12dt【详解】 , ??2?2?1?2dxdx3t?3t?1t?1dtd2yd?dy?dt?2??14t??1??? , ????dx2dt?dx?dx?t2?1?3(t2?1)3(t2?1)3d2y?0 ? t?0. 令 2dx3又 x?t?3t?1 单调增, 在 t?0时, x?(??,1)。(

t?0时，x?1?x?(??,1]时，

曲线凸.)