切线法证明条件不等式

原帖由 神龙在天

于

2010-11-9 17:32 发表

已知

An=2+

1 / [ (--2)^n--1/3 ] , 求证： （--1）*A1 + （--1）^2*A2 + （--1）^3*A3 + ......+

（--1）^n*Xn < 1

请问怎么做最简单？最直观的思路是什么？

设b[n]=(-1)^na[n]

则有b[2n-1]=-2+3/[3*2^(2n-1)+1]，b[2n]=2+3/[3*2^(2n)-1]

由于b[2n]>0，因此b[1]+b[2]+...+b[2n-1]<b[1]+b[2]+...+b[2n-1]+b[2n] 因此只要证明b[1]+b[2]+...+b[2n]<1成立即可，其中b[2n-1]+b[2n]=3/[3*2^(2n-1)+1]+3/[3*2^(2n)-1]=27*2^(2n)/[9*2^(4n)+3*2^(2n)-1]<27*2^(2n)/[9*2^(4n)]=3/2^(2n)

b[1]+b[2]+...+b[2n]=(b[1]+b[2])+...+(b[2n-1]+b[2n])<3/2^2+...+3/2^(2n)=1-1/2^(2n)<1 因此.......

上面这个题目是并组放缩的方法 下面是切线法证明不等式

`设实数a，b，c，满足a+b+c=3，证明：`

`1/(5a^2-4a+11)+1/(5b^2-4b+11)+1/(5c^2-4c+11)<=1/4`

切线法说白了就是利用函数的图像性质解决一类多元的，但能化简为一元函数求和类型的不等式。其本质相当于求这个一元函数在等号取到条件时的切线值，进一步求对于这个一元函数相对应的极其怪异的某个局部不等式。

对于这个一元函数的处理方面，可以选择先求二阶导看凹凸性，判断这个函数是否能使用切线法，或者能够被用得比较好。也可以直接选择求一阶导，把等号取道条件的切线值求出来，对应不等式常数项配最后的常数系数。当这个奇怪的局部不等式被构造出来了以后，通常利用因式分解的方法进行证明，而因式中常有一项是等号取道条件的因式。

这个切线法好处在于不管多烦的函数形态都能解，但难点也在于是否能算得对。况且有一些不等式一旦能用切线法求值，几乎一定能用均值柯西搞定，因而显得这个方法有时有点累赘。但毫无疑问，这个方法在系数处理上是高明的。

下面这个题目是利用函数的凸凹性解题，主要是求下界

【13,25】