最新【创新设计】高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：第1

一、选择题

1．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．

A.{}x |x >0

B.{}x |x <0

C.{}x |x <－1，或x >1

D.{}x |x <－1，或0<x <1

解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.

答案 A

2．已知f (x )是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( )．

A ．af (b )≤bf (a )

B ．bf (a )≤af (b )

C ．af (a )≤f (b )

D ．bf (b )≤f (a )

解析 因为xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0，

所以????

??f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤－2f (x )x 2≤0， 则函数f (x )x 在(0，＋∞)上单调递减．

由于0<a <b ，则f (a )

a ≥f (

b )b ，即af (b )≤bf (a )．

答案 A

3．(20xx·汕头模拟)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )．

A ．f (a )＜f (1)＜f (b )

B ．f (a )＜f (b )＜f (1)

C ．f (1)＜f (a )＜f (b )

D ．f (b )＜f (1)＜f (a ) 解析 由题意，知f ′(x )＝e x ＋1＞0恒成立，所以函数f (x )在R 上是单调递增的，而f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，所以函数f (x )的零

点a∈(0,1)；

由题意，知g′(x)＝1

x＋1＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，又g(1)

＝ln 1＋1－2＝－1＜0，g(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2＞0，所以函数g(x)的零点b∈(1,2)．

综上，可得0＜a＜1＜b＜2.

因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)＜f(1)＜f(b)．

答案 A

4．(20xx·安徽卷)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是()．

A．3 B．4

C．5 D．6

解析因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，可知关于导函数的方程f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0有两个不等的实根x1，x2，则方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有两个不等的实根，即f(x)＝x1或f(x)＝x2，原方程根的个数就是这两个方程f(x)＝x1和f(x)＝x2的不等实根的个数之和，若x1<x2，作y＝x1，y＝x2与f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个不同交点如图1.

图1图2

即方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三个不同的实根．

若x1>x2，如图2同理方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三个不同实根．

答案 A

二、填空题

5．函数f(x)＝1

3x

3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是________．

解析f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增

函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)

极小值＝f(3)＝－10＜0，f(x)

极大值

＝f(－1)＝

2

3＞0

知函数f (x )的图象与x 轴的交点个数为3.

答案 3

6．(20xx·温州模拟)关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．

解析 由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝

f (2)＝－4－a ，所以??? －a ＞0，－4－a ＜0，

解得－4＜a ＜0. 答案 (－4,0)

7．(20xx·洛阳模拟)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．

答案 (－∞，2ln 2－2]

8．(20xx·邯郸质检)已知函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋43，直线l ：9x ＋2y ＋c ＝0，若当x

∈[－2,2]时，函数y ＝f (x )的图象恒在直线l 下方，则c 的取值范围是________．

解析 根据题意知13x 3－x 2－3x ＋43＜－92x －c 2在x ∈[－2,2]上恒成立，则－c 2＞13x 3

－x 2＋32x ＋43，

设g (x )＝13x 3－x 2＋32x ＋43

， 则g ′(x )＝x 2－2x ＋32，

则g ′(x )＞0恒成立，所以g (x )在[－2,2]上单调递增，

所以g (x )max ＝g (2)＝3，则c ＜－6.

答案 (－∞，－6)

三、解答题

9．(20xx·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.

(1)求a；

(2)证明：当k＜1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．

(1)解f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.

曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y＝ax＋2.

由题设得－2

a＝－2，所以a＝1.

(2)证明由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.

设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.

由题设知1－k＞0.

当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k＞0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1＜0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根．

当x＞0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，

则g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x)．

h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0.

所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根．

综上，g(x)＝0在R有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．

10．已知函数f(x)＝1

3x

3＋

1－a

2x

2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围．

解(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．

由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

↗↘↗

a )．

(2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减，从而

函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当??? f (－2)＜0，

f (－1)＞0，

f (0)＜0.

解得0＜a ＜13. 所以a 的取值范围是? ??

??0，13. 11．已知函数f (x )＝ln x ＋k

e x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝

f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．

(1)求k 的值；

(2)求f (x )的单调区间；

(3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2.

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