2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设i为虚数单位，则复数的虚部是（）

A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣3

2．记集合A={x|x﹣a＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，若0∈A∩B，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．[0，+∞）D．（0，+∞）

3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）

A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱

4．二项式（x﹣2）5展开式中x的系数为（）

A．5 B．16 C．80 D．﹣80

5．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）

A．a n=（﹣1）n﹣1+1 B．a n=

C．a n=2sin D．a n=cos（n﹣1）π+1

6．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（）

A．10种B．60种C．125种D．243种

7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表

使用智能手机不使用智能手机合计

学习成绩优秀 4 8 12

学习成绩不优秀16 2 18

合计20 10 30

附表：

p（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）

A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响

B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响

C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响

D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响

8．函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间是（）

A．[﹣，]B．[﹣2π，﹣]

C．[，2π]D．[﹣2π，﹣]和[，2π]

9．非负实数x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于x﹣y的最大值和最小值分别为（）A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣2

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10．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）

A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9

11．已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．?x∈R，f（x）＞g（x）

B．?x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）

C．?x0∈R，f（x0）=g（x0）

D．?x0∈R，使得?x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）

12．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）经过抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是（）

A．2 B．C．D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．=_______．

14．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于_______．

15．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|

?|的最小值为_______．

16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，令F（x）=（x﹣b）f（x﹣b）+2020，若b是a、c的等差中项，则F（a）+F（c）=_______．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．已知数列{a n}满足a1++…+=2n+1．

（1）求{a n}的通项公式；

（2）求{a n}的前n项和．

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18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．

一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．

（Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天）（Ⅱ）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．

19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE，CG=DE．

（1）证明：面GEF⊥面AEF；

（2）求二面角B﹣EG﹣C的余弦值．

20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，1）是C1上一点．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．

21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣ax（a为常数）有两个极值点．

（1）求实数a的取值范围；

（2）设f（x）的两个极值点分别为x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求λ的最小值．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，C，D是以AB为直径的半圆上两点，且=．

（1）若CD∥AB，证明：直线AC平分∠DAB；

（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：CD2=AE?AC．

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[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]．

（1）求C1的直角坐标方程；

（2）曲线C2的参数方程为（t为参数），求C1与C2的公共点的极坐标．

[选修4-5：不等式选讲]

24．设α、β、γ均为实数．

（1）证明：|cos（α+β）|≤|cosα|+|sinβ|；|sin（α+β）|≤|cosα|+|cosβ|．

（2）若α+β+γ=0．证明：|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．

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2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设i为虚数单位，则复数的虚部是（）

A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣3

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．

【解答】解：复数==﹣3i+2的虚部是﹣3．

故选：D．

2．记集合A={x|x﹣a＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，若0∈A∩B，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．[0，+∞）D．（0，+∞）

【考点】交集及其运算．

【分析】表示出A中不等式的解集确定出A，根据0属于A与B的交集，确定出a的范围即可．

【解答】解：由A中不等式解得：x＞a，即A=（a，+∞），

由B中y=sinx，得到﹣1≤y≤1，即B=[﹣1，1]，

由0∈A∩B，得到a＜0，

则a的范围是（﹣∞，0），

故选：A．

3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）

A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由于圆锥的三视图中一定不会出现正方形，即可得出结论．

【解答】解：圆锥的三视图中一定不会出现正方形，

∴该空间几何体不可能是圆锥．

故选：B．

4．二项式（x﹣2）5展开式中x的系数为（）

A．5 B．16 C．80 D．﹣80

【考点】二项式系数的性质．

【分析】二项式（x﹣2）5展开式中x的项为，即可得出．

【解答】 …… 此处隐藏：9518字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……