【名师导学】2015高考数学一轮总复习 8.61 折叠问题与探究性问题

第61讲

折叠问题与探究性问题

【学习目标】 1.能通过观察分析将平面图形翻折为立体图形的过 程中，几何元素与几何位置关系的变化情况，并能充分利 用不变关系解决相关问题、培养空间想象能力. 2.会分析探究立体几何中位置关系问题和几何量的 取值问题，培养探究思维能力.

【基础检测】 1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E,F 分别为 棱 AB,CC1 的中点，在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线( A ) A.有无数条 B.有 2 条 C.有 1 条 D.不存在

【解析】∵平面 D1EF 与平面 ADD1A1 有公共点 D1,∴两平面有一条过 D1 的交线 l,在平面 ADD1A1 内与 l 平行的任意直线都与平面 D1EF 平行，这样直线 有无数条.

2.如图，以等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个 平面后，某学生得出下列四个结论：

①BD⊥AC;②△BAC 是等边三角形；③三棱锥 D -ABC 是正三棱锥； ④平面 ADC⊥平面 ABC.其中正确 的是( B ) A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④

【解析】由题意知，BD⊥平面 ADC,故 BD⊥AC, ①对；AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高，平面 ABD⊥平面 ACD,所以 AB=AC=BC,△BAC 是等边 三角形，②对；易知 DA=DB=DC,又由②知③对； 由①知④错.故选 B.

3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为正 三角形， 底面 ABCD 为正方形， 侧面 PAD⊥底面 ABCD, M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP=MC,则 点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为________ . ①

【解析】 以 D 为原点， DA、 DC 所在直线分别为 x、 y 轴建系如图：

设 M(x, y, 0), 设正方形边长为 a, 则

a P ,0, 2

3 a , 2

C(0,a,0), 则 MC= x2+(y-a)2, a 2 2 3 2 x- +y + MP= . a 2 2 由 MP=MC 得 x=2y,所以点 M 在正方形 ABCD 1 内的轨迹为直线 y= x 的一部分. 2

4.(1)三角形的一边 BC 在平面 α 内，l⊥α,垂足 为 A,A BC,P 在 l 上滑动，点 P 不同于 A,若∠ABC 直角 三角形； 是直角，则△PBC 是________ (2)直角三角形 PBC 的斜边 BC 在平面 α 内，直角 顶点 P 在平面 α 外， P 在平面上的射影为 A, 则△ABC 钝角 三 角 形 . ( 填 “ 锐 角 ”“ 直 角 ” 或 “ 钝 是 _________ 角”)

【解析】(1)如图，∵PA⊥平面 ABC,

∴PA⊥BC,又∵∠ABC=90°∴BC⊥AB, ∴BC⊥平面 PAB,∴∠PBC=90°. (2)如图， PB2+ PC2=BC2, AB<PB, AC<PC, 所以 AB2+AC2<BC2,故∠BAC 为钝角.

【知识要点】 1.折叠问题 (1)将平面图形按一定规则折叠成立体图形， 再对立体 图形的位置和数量关系进行论证和计算，这就是折叠问 题. (2)处理折叠问

题， 要先画好平面图形， 并且注意平面 图形与立体图形的对照使用， 这样有利于分析元素间的位 置关系和数量关系. (3) 要注意分析折叠前后位置关系及数量关系的变 化.一般位于折线一边的点、线间的位置关系和数量关系 不变，位于折成两边的点、线间的位置关系，数量关系要 发生变化.不变的关系，要注意在平面图形中处理；变化 的关系，一般在立体图形中处理.

2.探究性问题 (1)若某几何量或几何元素的位置关系存在时， 某点或 线或面应具备何种条件的问题， 就是一立体几何中的探究 性问题. (2)探究性问题的题设情境通常就是“是否存在”, 其 求解策略是：①观察——猜想——证明；②赋值推断；③ 类比联想；④特殊——一般——特殊.

一、折叠问题 π 例1如图，在△ABC 中，∠B= ,AB=BC=2,P 2 为 AB 边上一动点，PD∥BC 交 AC 于点 D,现将△PDA 沿 PD 翻折至△PDA′,使平面 PDA′⊥平面 PBCD. (1)当棱锥 A′-PBCD 的体积最大时，求 PA 的长； (2)若点 P 为 AB 的中点，E 为 A′C 的中点，求： A′B⊥DE.

【解析】(1)令 PA=x(0<x<2),则 A′P=PD=x, BP=2-x, 因为 A′P⊥PD 且平面 A′PD⊥平面 PBCD, 故 A′P⊥平面 PBCD. 1 1 所以 VA′-PBCD= (2-x)· (2+x)x= (4x-x3), 6 6 1 令 f (x)= (4x-x3), 6 1 2 2 由 f′(x)= (4-3x )=0,得 x= 3. 6 3 2 当 x∈ 0,3 3 时，f′(x)>0,f(x)单调递增， 2 当 x∈ 3 3,2 时，f′(x)<0,f(x)单调递减， 2 所以，当 x= 3时，f(x)取得最大值. 3 2 3 即：当 VA′-FBCD 取得最大时，PA= . 3

(2)设 F 为 A′B 的中点，连接 PF、FE, 1 1 则有 EF BC,PD BC, 2 2 所以 DE∥PF,又 A′P=PB, 所以 PF⊥A′B,故 DE⊥AB.

例2如图 1, 平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称， ∠A=60°,∠C=90°,CD=2.把△ABD 沿 BD 折起 3 (如图 2), 使二面角 A-BD-C 的余弦值等于 .对于图 3 2,

(1)求 AC 的长，并证明：AC⊥平面 BCD; (2)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值.

【解析】(1)取 BD 的中点 E,连接 AE、CE,由 AB=AD、CB=CD,得 AE⊥BE,CE⊥BD,∴∠AEC 3 就是二面角 A-BD-C 的平面角，∴cos∠AEC= , 3

△ACE 中 AE= 6,CE= 2,AC2=AE2+CE2- 2AE· CE· cos∠AEC=4,AC=2, 由 AB=AD=BD=2 2, AC=BC=CD=2, ∴AC2 +BC2=AB2, AC2 + CD2 = AD2 , ∴∠ACB = ∠ACD = 90 °,即 AC⊥BC,AC⊥CD, 又 BC∩CD=C,∴AC⊥平面 BCD.

(2)法一： 由(1)知 BD⊥平面 ACE, BD 平面 ABD, ∴平面 ACE⊥平面 ABD, 平面 ACE∩平面 ABD=AE, 作 CF⊥AE 交 AE 于 F,则 CF⊥平面 ABD, ∴∠CAF 是 AC 与平面 ABD 所成的角， sin∠CAF CE 3 =sin∠CAE=AE= . 3 法二：设点 C 到平面

ABD 的距离为 h, ∵VC-ABD=VA-BCD, 1 1 1 1 ∴ · ·2 2·2 2sin 60°·h= · ·2·2·2, 3 2 3 2 2 3 ∴h= ,于是 AC 与平面 ABD 所成角 θ 的正弦 3 h 3 为 sin θ= = . AC 3