12-3振动与波动合成

第三章 振动和波动 Vibration and Wave

简谐振动的动力学与运动学方程 简谐振动的特征量 矢量图示法 简谐振动的能量特点 阻尼振动、受迫振动的特点 振动的合成 重点：简谐振动 同频率简谐振动的合成

难点：振动有关的相关量计算

第一节

简谐振动(Simple

Harmonic Motion,SHM)

一、简谐振动的描述1.运动学(表象描述)

定义物体振动时，位移随时间依余弦或正弦函数规律变化，称为简谐振动。

表达式或

x(t ) Acos( t 0 )

) x(t ) Asin( t 0

速度、加速度 dx ωAsin (ωt 0 ) 速 度 v dt π ωAcos (ω t 0 ) 2 vm cos(ω t v 0 ) 加速度d2 x a 2 ω2 Acos(ω t 0 ) dt ω2 Acos(ω t 0 π ) am cos( t a 0 )

a x2

运动学特征

t

x(t ) Acos( t 0 )

v(t ) ωAcos(ω t 0 2) 2 a(t ) ω Acos(ω t 0 π )

2.动力学(揭示本质) 水平方向受力

F kx 牛顿第二定律d x k x 0 2 dt m2

动力学特征d2 x F kx ma m 2 dtd2 x 2 x 0 2 dt

k m

x(t ) Acos(ωt 0 )

简谐振动(判据): 受力角度 —— 动力学特征

F -kx 加速度角度——运动学特征

a x2

位移角度 —— 运动学特征

x A cos( t )

二、简谐振动特征量 (三要素)1. 周期T (Period)物体完成一次全振动所需的时间。

频率

( Frequency)

1 T

物体在单位时间内完成振动的次数。 角频率(Angular frequency ) 2 2 T

物体在2 秒内振动次数或单位时间相位改变。

固有频率

k (弹簧振子) m

g (单摆) l

2. 振幅 A (Amplitude)物体离开平衡位置最大位移的绝对值。

3. 相位 t 0 (Phase)决定简谐振动物体运动状态的物理量。 ωt 0 ---- t 时刻的相位

0 ---- t

0 时刻的相位

0

4. 振幅和初相位 0(由初始条件决定)

x Acos(ωt 0 )

x0 Acos 0

v ωAsin (ωt 0 )A x0 2 2 v0 2

v0 ωAsin 0

v0 0 arctan ( ) x0

三、简谐振动的研究方法1.解析法

x(t ) Acos(ωt 0 )比较 代入

已 知 解 析 式已知 A、 、 0 2.曲线法 x(m)5 1 -5 2

A、 、 0解析式

已知曲线

A、 、 0曲线

t(s)

已知 A、 、 0

3.旋转矢量法

A t t t 0

A

作图方法

t 0

作坐标轴 ox , 自原点作 A A初始时刻与x轴的夹角-初相 0 A 的角速度- 角频率 A与x 轴的夹角- 相位 t 0

0

x(t ) Acos(ωt 0 )

O

x

x

A 的模 - 振幅A

一放置在光滑

桌面上的弹簧振子，振幅 A = 2.0×10-2m ,周期 T =0. 50s 。当 t = 0 时，求下列情况下的初 相位。(1)物体在平衡位置，向负方向运动； (2)物体在 x = -1.0×10-2 m 处，向正方向 运动。

分析： 解析法：依据初始条件 x = x0 和 v0 的方向确定 0 值； 旋转矢量法：根据质点在ox 轴上的初始位置 x0 以及速 度的方向与确定 0值。

1. 解析法：设谐振动方程

x A cos( t 0 ) v0 A sin 0

当 t = 0 时， x0 A cos 0

(1)物体在平衡位置，向负方向运动；

x10 A cos 10 0 cos 10 0 10 2v10 0

10 2

(2)物体在 x 1.0 10 2 m 处，向正方向运动。

x20 A cos 20 A 2 cos 10 1 2

20 3

v20 0

20 4 3 ( 2 3)

2. 旋转矢量法： (1)在平衡位置，向负方向运动；1

o

×

x

10

2

2 (2)在 x 1.0 10 2 m 处，向正方向运动。 1 A 2

×

o

x

2 20 3

2

四、简谐振动的能量1.动能 2.势能

v A sin( t 0 )1 Ek mv 2 2 1 2 2 kA sin ( t 0 ) 2

x A cos( t 0 )1 2 E p kx 21 2 kA cos 2 ( t 0 ) 2

3.总能量

1 2 E=Ek+E p k A A 2

2E k