《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版选修2-2

来源：网络收集时间：2026-02-06

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分类讨论思想在导数中的应用2x k

例 1 已知函数 f(x)=(x-k) e . (1)求 f(x)的单调区间； 1 (2)若对 x∈(0,+∞),都有 f(x)≤ ,求 k 的取值范围. e 1 2 2 解 (1)f′(x)=k (x -k )e ,令 f′(x)=0 得 x=± k. 当 k>0 时，f(x)在(-∞,-k)和(k,+∞)上递增，在(-k,k)x k

上递减；

当 k<0 时，f(x)在(-∞,k)和(-k,+∞)上递减，在(k,-k) 上递增.

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章末复习课1 > ;所以不可能对 x∈(0,+∞) e

(2)当 k>0 时，f(k+1)= e 1 都有 f(x)≤ ; e本课时栏目开关

k 1 k

4k2 当 k<0 时，有(1)知 f(x)在(0,+∞)上的最大值为 f(-k)= , e 1 所以对 x∈(0,+∞)都有 f(x)≤ e. 4k2 1 1 1 即 ≤ - ≤k<0,故对 x∈(0,+∞)都有 f(x)≤ 时，k 的 e e 2 e 1 取值范围为[-2,0).

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在对含参数的函数讨论单调性、极值、最值

时，一般需要根据函数的导数的符号对系数进行讨论，分类时一定要不重不漏，对每一类情况都要给出解答.

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跟踪训练 1 减区间.

1 3 1 求函数 y= x - (a+a2)x2+a3x+a2 的单调 3 2

解本课时栏目开关

y′=x2-(a+a2)x+a3=(x-a)(x-a2).

令 y′<0,得(x-a)(x-a2)<0.

当 a<0 时，不等式的解集为 a<x<a2,此时函数的单调减区间为(a,a2); 当 0<a<1 时，不等式的解集为 a2<x<a,此时函数的单调减区间为(a2,a); 当 a>1 时，不等式的解集为 a<x<a2,此时函数的单调减区间为(a,a2);

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当 a=0 或 a=1 时，y′≥0,此时，无单调减区间. 1 3 1 综上所述，a<0 或 a>1 时，函数 y=3x -2(a+a2)x2+a3x+a2 1 3 1 2 的单调减区间为(a,a );0<a<1 时，函数 y= x - (a+a2)x2 3 2+a3x+a2 的单调减区间为 (a2,a);a=0 或 a=1 时，无单调减区间.

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题型二

转化与化归思想的应用 ex 例 2 设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 1+ax2 4 (1)当 a= 时，求 f(x)的极值点； 3本课时栏目开关

(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围.1+ax2-2ax 解对 f(x)求导得 f′(x)=ex . 1+ax2 2 4 (1)当 a= ,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0, 3 3 1 解得 x1= ,x2= . 2 2 ①

综合①, 可知当 x 变化时， f′(x)与 f(x)的变化状态如下表：

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课1 3 ( , ) 2 2 -  3 2 0 极小值 3 ( ,+∞) 2 + 

x f′(x)本课时栏目开关

1 (-∞, ) 2 + 

1 2 0 极大值

f(x)

3 1 所以，x1= 是极小值点，x2= 是极大值点. 2 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数，则 f′(x)在 R 上不变号，结合①与条件 a>0, ax2-2ax+1≥0 知在 R 上恒成立，因此 Δ=4a2 -4a=4a(a-1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1.

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转化与化归思想就是在处理繁杂问题

时通过转化，归结为易解决的问题，本题中将函数性质的讨论归结到二次不等式的解.

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跟踪训练 2 若函数 f(x)=ax3-x2+x-5 在 R 上单调递增，求 a 的取值范围.解 f′(x)=3ax2-2x+1.本课时栏目开关

因为 f(x)在 R 上单调递增，所以 f′(x)≥0, 即 3ax2-2x+1≥0 在 R 上恒成立. a>0, 所以 Δ≤0, a>0, 即 4-12a≤0,

1 所以 a≥ . 3

1 又当 a= 时，f(x)在 R 上也是递增的， 3 1 所以 a≥ . 3

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题型三例3

函数与方程思想

请你设计一个包装盒，如图所示， ABCD 是边长为 60 cm

的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的本课时栏目开关

点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点， AE=FB 设 =x cm.

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(1)若广告商要求包装盒侧面积 S (cm2)最大，试问 x 应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积 V (cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.本课时栏目开关

解 (1)根据题意有 S=602-4x2-(60-2x)2=240x-8x2= -8(x-15)2+1 800(0<x<30),所以 x=15 cm 时包装盒侧面积 S 最大. 2 (2)根据题意有 V=( 2x)2 (60-2x)=2 2x2(30-x)(0<x<30), 2所以，V′=6 2x(20-x), 当 0<x<20 时，V′>0,V 递增；当 20<x<30 时，V′<0,V 递减，

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所以，当 x=20 时，V 取极大值也是最大值.2 2 60-2x 1 此时，包装盒的高与底面边长的比值为 =2. 2x本课时栏目开关

即 x=20 包装盒容积 V(cm3)最大，此时包装盒的高与底面边长 1 的比值为2.

小结

函数与方程思想是数学中最基本、最重要的数学思想，

在应用问题中，从函数观点出发，建立函数模型然后求解是常用的方法.

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跟踪训练 3 某造船公司年造船量是 20 艘，已知造船 x

艘的产值函数为 R(x)=3 700x+45x2-10x3(单位：万元);成本函数为 C(x)=460x+5 000(单位：万元). 又在经济学中，函数 f(x) 的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x).本课时栏目开关

(1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x); (提示：利润=产值-成本) (2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ (3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

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解

(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-

5 000(x∈N*,且 1≤x≤20);MP(x)=P(x+1)-P(x)本课时栏目开关

=-30x2+60x+3 275(x∈N*,且 1≤x≤19).(2)P′(x)=-30x2+90x+3 240 =-30(x-12)(x+9). ∵x>0,∴P′(x)=0 时，x=12. ∴当 0<x<12 时，P′(x)>0;当 x>12 时，P′(x)<0, ∴x=12 时，P(x)有最大值.即年造船量安排 12 艘时，可使公司造船的年利润最大.

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