《数学物理方法》第八章作业(边界条件)

第八章习题和部分定解问题。

P201：1，2，5，6，11，12，13，16，17，20

1.长为l的弦，两端固定，弦中张力为T，在距一端为x0的一点以力F0把弦拉开，然后突然撇除这力，求解弦的振动。

解：此题的定解问题为

utt a2uxx 0,(0 x l), u(0,t) u(l,t) 0, F0l x0 x,(0 x x0), Tl u(x,0) F0x0(l x),(x x l), 0 Tl utt 0 0. (1)(2)(3) (4)

22.求解细杆热传导问题，杆长l，两端保持为零度，初始温度分布ut 0 bx(l x)/l。此

题的定解问题为

k 22u au 0,(a )(0 x l),xx tC ux 0 ux l 0, 2u bx(l x)/l. t 0

5.长为l的杆，一端固定，另一端受力F0而伸长，求解杆在放手后的振动。此题的定解问题为

utt a2uxx 0,(0 x l), ux 0 0,uxx l 0, X uXFF0X 0u(x,0) dx dx ,(0 x l), 0 x 0YSYS utt 0 0.

6.长为l的理想传输线，远端开路，先把传输线充电到电位差u0，然后把近端短路。求解线上的电压u(x,t)。 此问题的泛定方程为utt auxx 0,a 221,(0 x l)， LC

u(0,t) 0, 边界条件为 ， u(l,t) R Lj 0. x t x l

u(x,0) u0, 初始条件为 1 ut(x,0) Cjx 0.

t 0

11.在矩形区域0 x a,0 y b上求解拉氏方程 u 0，使满足边界条件 ux 0 Ay(b y),ux a 0, 。 x uy 0 Bsina,uy b 0.

12.均匀的薄板占据区域0 x a,0 y ，边界上温度为ux 0 0,ux a 0,u

13.在带状y 0 u0,lium 0。求解板的稳定温度分布。 y 区域0 x a,0 y 上求解 u 0使

x ux 0 0,ux a 0,uy 0 A 1 ,limu 0。 a y

16.在圆形域内求解 u 0使满足边界条件，(1)u a Acos ,(2)u a A Bsin 。

解：极坐标系下，问题的泛定方程为

11u u 2u 0,(0 a,0 2 )

17.半圆形薄板，板面绝热，边界直径上温度保持零度，圆周上保持u0，求稳定状态下的板上温度分布。此问题在极坐标系下的定解问题为

11 u u 2u 0,(0 R,0 ),

u 0 0,(0 R), u 0,(0 R), u R u0,(0 ).

20.在以原点为心，以R1和R2为半径的两个同心圆所围成的环域上求解 u 0，使满足边界条件u R f1( ),u R f2( )。

12

解：在极坐标系下，问题的定解问题为

11 u u 2u 0,(R1 R2,0 2 ), u R f1( ), 1 u R f2( ).2