西安电子科技大学纠错码课件2.代数初步

来源：网络收集时间：2026-08-08

导读：西安电子科技大学纠错码课件国家重点实验室第二章代数初步课件下载地址 jiucuoma@http://www.77cn.com.cn 密码:111111 密码西安电子科技大学纠错码课件国家重点实验室要求掌握的内容群、子群和陪集的概念环的概念域的概念会判断西安电子科技大学

西安电子科技大学纠错码课件

国家重点实验室

第二章代数初步课件下载地址 jiucuoma@http://www.77cn.com.cn 密码:111111 密码

西安电子科技大学纠错码课件

国家重点实验室

要求掌握的内容

群、子群和陪集的概念环的概念域的概念会判断

西安电子科技大学纠错码课件

国家重点实验室

一、同余和剩余类(p23)

同余：若整数和被同一正整数除时，被同一正整数m除时同余：若整数a和b被同一正整数除时，有相同的余数，则称a、关于模同余，关于模m同余余数，则称、b关于模同余，记为

a ≡ b (mod m )剩余类(Residue):给定正整数，将全体整数按剩余类给定正整数m, 给定正整数余数相同进行分类，可获得m个剩余类个剩余类：余数相同进行分类，可获得个剩余类：

0, 1 , … , m 1

a + b = a + b, a b = a b

西安电子科技大学纠错码课件

国家重点实验室

的定义(p26) 二、群(Group)的定义的定义

是一个非空集合，设G是一个非空集合，并在内定义了一种是一个非空集合并在G内定义了一种若满足：代数运算 “ 。”,若满足：2) 结合律。对任意a, b, c ∈ G ,恒有 (a b ) c = a 4) 对任意 a ∈ G,存在a的逆元 a 1 ∈ G ,使 1) 封闭性。对任意

a, b ∈ G,恒有 a b ∈ G

(b c )

3) G中存在一恒等元e,对任意 a ∈ G ,使 a e = e a = a

a a 1 = a 1 a = e则称G构成一个群。若加法，恒等元用0表示，若为乘法，恒等元称为单位元

西安电子科技大学纠错码课件

国家重点实验室

Examples对加法构成群对加法构成群对加法构成群对加法构成群对乘法不构成群对乘法不构成群除0元素外，对乘法构成群除0元素外，对乘法构成群除0元素外，对乘法构成群对模m加法构成群

1、全体整数 2、全体偶数 3、全体实数 4、全体复数

5、全体有理数对加法构成群

6、模m的全体剩余类, 0,1 , … , m 1

对模m乘法，除0外，根据m值不同

西安电子科技大学纠错码课件

国家重点实验室

Examples

7、考察集合

{1,2,3,4} 在模5乘法下是否构成一个群。= { ,2, , p 1} 对模p 1

结论：如果p是一个素数，则集合 G 运算构成群。

西安电子科技大学纠错码课件

国家重点实验室

中恒等元是唯一的、定理 2.2.1 群G中恒等元是唯一的、群中每个元素的逆元也中恒等元是唯一的是唯一的。是唯一的。  证明先证恒等元唯一。设有两个恒等元e,e′∈G,则根据恒等元性质可知：ee′=e, ee′=e′,所以ee′=e=e′。下面再证明逆元的唯一性。设g∈G,它若有两个逆元，则 g1 1 , g 2 1 ∈ G g1 1 = e g1 1 = ( g 2 1 g ) g1 1 = g 2 1 ( g g1 1 ) = g 2 1 e = g 2 1

西安电子科技大学纠错码课件

国家重点实验室

三、有关群的几个概念

群的阶(Order of a Group) 群中元素的个数称为群的阶有限群(Finite Group) 有限阶的群称为有限群无限群(Infinite Group) 无限阶的群称为无限群加群、乘群阿贝尔群(A

belian Group) (满足交换律) 半群(Semigroup)(满足前两个条件，封闭性和结合律) 弱群(Monoid)(满足前三个条件，封闭性、结合律且有恒等元) 置换群(Permutation Group) 对称群(Symmetric Group) 格(Lattice)——是一类加群，集合中的元素是欧氏空间中的离散点

西安电子科技大学纠错码课件

国家重点实验室

四、子群的定义(p32,33) 子群的定义

子群：子群：若G为运算下的一个群，H为G的一个为运算下的一个群，为的一个非空子集，非空子集，若满足 (1) H在运算下是封闭的；在运算下是封闭的； (2) H中的任意元素的逆元仍在中，中的任意元素的逆元仍在H中中的任意元素的逆元仍在则称H为的子群则称为G的子群

平凡子群、平凡子群、真子群

西安电子科技大学纠错码课件

国家重点实验室

五、陪集的概念(p33) 陪集的概念

陪集：的一个子群，陪集：设H是在运算下的群的一个子群，是在运算下的群G的一个子群 a是群的一个元素，则是群G的一个元素是群的一个元素，称为H的左陪集的左陪集； a H ={a h, h ∈ H } 称为的左陪集；称为H的右陪集的右陪集； H a ={h a, h ∈ H } 称为的右陪集；

如果群G是一个交换群，则对同一个元素，如果群是一个交换群，则对同一个元素a, 是一个交换群其对应的左陪集和右陪集是相同的。其对应的左陪集和右陪集是相同的。

西安电子科技大学纠错码课件

国家重点实验室

五、陪集的概念(p33) 陪集的概念

若H是G的子群，则可利用H把G划分等价类用g1, g2,…表示群G中的元素，用h1, h2表示子群H中的元素

h1 = eg 1 h1 = g 1 g 2 h1 = g 2

h2g 1 h2 g 2 h2

h3g 1 h3 g 2 h3

子群H 左陪集左陪集左陪集

g 3 h1 = g 3陪集首

g 3 h2

g 3 h3

西安电子科技大学纠错码课件

国家重点实验室

五、陪集的概念(p33) 陪集的概念

例: 模16加法下的加群 G = {0,1, ,15} ,H={0,4,8,12}是G的一加法下的加群， , , 是的一个子集。个子集。易知，是的一个子群的一个子群。易知，H是G的一个子群。

0 ⊕16 H = {0,4,8,12} 1 ⊕16 H = { ,5,9,13} 1

2 ⊕16 H = {2,6,10,14} 3 ⊕16 H = {3,7,11,15}

6 ⊕16 H = {6,10,14,2} 7 ⊕16 H = {7,11,15,3}

5 ⊕16 H = {5,9,13,1}

4 ⊕16 H = {4,8,12,0}

西安电子科技大学纠错码课件

国家重点实验室

五、陪集的概念(p33) 陪集的概念

有限群可以按子群H划分成有限个互不相交的陪有限群G可以按子群划分成有限个互不相交的陪可以按子群中的每个元素出现且仅出现在H的一个陪集集，G中的每个元素出现且仅出现在的一个陪集中的每个元素出现且仅出现在中。若按H划分得到个陪集，则集合中的所有元素若按划分得到j个陪集则集合G中的所有元素划分得到个陪集，都包括在其中，无一遗漏。或者H的所有不同陪都包括在其中，无一遗漏。或者的所有不同陪集的并集构成群G 集的并集

构成群对于群的子群H,其任意两个不同的陪集之间没对于群G的子群，的子群有相同的元素。有相同的元素。

西安电子科技大学纠错码课件

国家重点实验室

五、陪集的概念(p33) 陪集的概念

群G的一个子群的所有不同陪集形成的一个划的一个子群H的所有不同陪集形成的一个子群的所有不同陪集形成G的一个划记为G/H。分，记为。拉格朗日定理：设G为一个阶群，H为一个阶为一个n阶群为一个m阶拉格朗日定理：为一个阶群，为一个子群，一定为整数，子群，则n/m一定为整数，且划分一定为整数且划分G/H由n/m个H 由个的陪集构成。的陪集构成。

西安电子科技大学纠错码课件

国家重点实验室

Examples

1、全体整数 2、全体偶数 3、全体实数 4、全体复数 5、全体有理数 6、模m的全体剩余类, 0,1 , … , m 1 构成环…… 此处隐藏：1829字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

西安电子科技大学纠错码课件2.代数初步.doc 将本文的Word文档下载到电脑，方便复制、编辑、收藏和打印

下载这篇word文档

本文链接：https://www.jiaowen.net/wendang/1483613.html（转载请注明文章来源）

上一篇：含氯消毒液的配制方法
下一篇：电机及拖动技术期末复习材料