2-3数列极限存在的条件

数学分析

数学分析第2.3节

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§2.3 数列极限存在的条件一 数列收敛的一个充分条件 —— 单调有界原理 二 数列收敛的充要条件 —— Cauchy收敛准则 三 关于极限1 lim 1 e : n n n

四 数列

单调有界证法欣赏 n 1 1 n

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一单调有界原理

定义{xn}称为单调上升的，若

{xn}称为单调下降的，若

x1 x2 x3 xn

x1 x2 x3 xn

单调增加和单调减少数列统称为单调数列

提问:

收敛的数列是否一定有界？有界的数列是否一定收敛？

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节

数列极限存在的条件

定理1(单调有界定理)

单调有界数列必有极限 定理1的几何解释

以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生

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数学分析第2.3节证明

不妨设 an 为有上界的递增数列.

由确界原理,数列 an 有上界,记a sup an .下证a就是 an 的极限.

事实上， 0,按上确界定义, aN an ,使得a aN.

an 的递增性,当n N时有a aN an.又由

而a是 an 的一个上界,故 an,都有an a a .

所以当n N时有a an a .

即liman a.

n

同理可证有下界的递减数列必有极限.

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111例1 设a 1 , ( 2 ).n 23n

a证明数列{ }n收敛.

证明：显然数列{an}单调增，且 n 2

111 1 1 1 1

an 1 2 2 2

1 22 3(n 1)n23n

11 1 11 1

1 1 2 2.

n 2 23 n 1n

于是，由单调有界定理知，数列收敛。

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例2a1 2, a2 2 2, , an 2 2 2(n重根号),· ·证明数列 · an 单调有界, 并求极限.

证

显然an 1 an, an 是单调递增的;

又 a1 2 2,假定ak 2,ak 1 2 ak 2,

an 是有界的;

liman存在.设liman A

n

n

an 1 2 an,

A 2 A,

2

lima

n

2

n 1

lim(2 an),

n

解得A 2,A 1

n

(舍去)

liman 2.

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例3求

a 0, x1 0. xn 1

limxn.

n

1 a

x .n 2 xn

( 计算

a的逐次逼近法, 亦即迭代法).

xn 1

1 a

x n 2 xn

解由均值不等式, 有

a

xn a. {xn}

xn

有下界;

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注意到对 n,有xn

a,有

xn 11 a 1 a n

1 1 1. x↘···, 2 2 xn2 xn 2 ( a )

limxn

n

a.

111

例4 1）证明序列xn 1 lnn

23n

的极限存在；

11n 11[1 ( 1)]2）求极限limn 23n

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解1）因x 1时有

x

ln(1 x) x1 x

(x 0)

(k 1，2， ）

所以即有

111

ln(1 ) 1 kkk

n

n

11

xn lnn ln(1 ) lnn ln(n 1) lnn 0

kk 1kk 1

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{x}n有下界。又这表明序列

xn xn 1

111 ln(n 1) lnn ln(1 ) 0

n 1nn 1

故序列{xn}下降。因此序列极限存在，记极限值为c。于是

n

1

lnn c n k 1k

n

或

1

c lnn n(lim n 0) n k 1k

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2）因

( 1) kk 1

2n

k 1

11

2 c ln(2n) 2n [c lnn n]k 1kk 12k ln2 2n n

2nn

所以

( 1)lim n kk 1

2n 1

2n

k 1

ln2

又

( 1)lim ln2n kk 1

k 1n

( 1)

lim ln2n kk 1

k 1

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二数列收敛的充要条件——Cauchy1 Cauchy列：

具有以下特性：如果数列

＞＞＜

则称数列是一个基本数列.（Cauchy列）2 Cauchy收敛准则：

收敛的充要条件是：定理数列

是一个基本数列.数列收敛

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数学分析第2.3节证明：必要性。

若 xn 收敛于a，设limxn a，

n

则 0， N N ， n N，m N时，

有xn a ，xm a ，

22

故xn xm

xn a a xm xn a xm a 。

22

充分性的证明留在以后（第七章）。

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柯西收敛准则也可叙述为

0， N N n N 数列 xn 收敛，时，

p N ，有xn p xn 。

柯西收敛准则表明，数列收敛等价于数列中充分远（即n充分大）的任意两项的距离能够任意小。柯西收敛准则的优点在于它不需要借助数列以外的任何数，只须根

据数列自身各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性。

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数列极限存在的条件

定理的几何解释

柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.