(七)指数函数对数函数和幂函数(答案)

教案

函数的运用

（一）知识归纳：

1．对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；

2．建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；

3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.

这些步骤用框图表示：

（二）学习要点：

1、解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：

⑴.阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；

⑵.建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；

⑶.求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。

2、常见的可用函数思想解决的问题：

⑴几何问题：平面几何、立体几何、解析几何； ⑵行程问题； ⑶工程设计问题；

⑷营销问题：利润=销售价—进货价；

⑸单利问题：设本金为P，期利率为r，则n期后本利和Sn P(1 nr)； ⑹复利问题：设本金为P，期利率为r，则n期后本利和Sn P(1 r)n； ⑺变化率问题； ⑻决策问题； ⑼相关学科问题。

3、认识和体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

教案

（三）练习题:

1.某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min以内收费0.2元，超过3 min的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min按1 min计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min以内、1到2 min以内、2到3 min以内、3到4 min以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m到m+1 min以内指含m min，而不含m+1 min）

解：设小灵通每月的费用为y1元，全球通的费用为y2元，分别在1 min以内、2 min以内、3 min以内、4 min以内的通话次数为4x、3x、x、x，则

y1=25+（4x+3x+x+x）×0.2+0.1x=25+1.9x，

y2=10+2（0.2×4x+0.4×3x+0.6x+0.8x）=10+6.8x. 令y1≥y2，即25+1.9x≥10+6.8x，

解得x≤

15

≈3.06. 4.9

∴总次数为（4+3+1+1）×2×3.06=55.1. 2.某影院共有1000个座位，票价不分等次。根据该影院的经营经验，当每张标价不超过10元时，票可全部售出，当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院一个合适的票价，符合的基本条件是：①为方便找零和算帐，票价定为1元的整数倍；②影院放映一场电影的成本费用支出为5750元，票房收入必须高于成本支出。用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）。 （1）把y表示成x的函数，并求其定义域；

（2）试问在符合基本条件的前提下，每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？ 解：（1）由题意知当x≤10时，y=1000x-5750,

当x>10时，y=[1000-30(x-10)]x-5750= -30x2

+1300x-5750

1000x 5750 0

解之得: 2

30x 1300x 5750 0

5.75 x

又x∈N,∴6≤x≤38 ∴所求表达式为

(6 x 10,x N) 1000x 5750

y 2

30x 1300x 5750(10 x 38,x N) 定义域为{x6 x 38,x N}

（2）当y 1000x 5750(6 x 10,x N)时,x 10时ymax 4250 当y 30x2 1300x 5750(10 x 38,x N)时,

y 30(x

65225000

) ,x 22时ymax 8330 33

教案

所以每张票价定为22元时净收入最多。 3.某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度2米/秒,在AD上找一落点C，使救生员从A到B的时间最短，并求出最短时间。 解： 设CD x,则AC 300 x,BC A经C到B的时间为

t,

3002 x2,

则从

300 xt (0 x

300)

61 t' t' 0得x 6易知,当0 x 2时,t 0,当2 x 300时,t 0,故当x 2时,tmin 50 2秒

因此点C应选沿岸边AD距D点2米处,才能使救生员从A经C到B所用的时间最短为

50 2秒

300

,AC 300 300tan ,(00 450)，用时 cos

300300 300tan sin 3t 50 50

2cos 6cos sin 3记k ,它表示点(cosα,sinα)和(0,3)连线的斜率,结cos

法二：设∠DBC=α则BC

合图形知当连线与圆弧相切时k 最大,t最小,y=ky+3代入y+y=1,Δ=0,

得k

此时cot AC 300

,t 50 最小.

2

2

解法研讨:法一:以CD长为自变量建模,导数法求最值;法二:以∠DBC为自变量建模,方法更具

灵活性.

4.某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元． （1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； （3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：（Ⅰ）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；（Ⅱ）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床． 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．

教案

解 （1）依题得：y 50 12x

x(x 1)

4 98 2x2 40x 98.（x N*） 2

（2

）解不等式 2x2 40x 98 0,得:10 x 10∵x N,∴3≤x≤17，故从第3年开始盈利。 （3）

（Ⅰ）

*

y9898

2x 40 40 (2x ) 40 12 xxx98

当且仅当2x 时，即x=7时等号成立．

x

到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元．

2

2

（Ⅱ）y=-2x+40x-98=-(x-10)+102，当x=10时，ymax=102

故到2011年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元 盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理．

5. 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双。由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好。为了推销员在推销产品时，接受定单时不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量，厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程。厂里也暂时不准备增加设备和工人。假如你是厂长，就月份x，产量y给出四种函数模型：y ax b，y ax bx c，y ax b，y abx c，你将利用哪一种模型去估计以后几个月的产量？

.解：由题意知：A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)

（1）设模拟函数为：y ax b，将B,C两点的坐标代入函数式，可得：

2

12

3a b 1.3 a 0.1

，解得： ，即y 0.1x 1。此模拟函数的意义为：在不增加工人和设备

2a b 1 …… 此处隐藏：4754字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……