空间向量与立体几何期末复习专题

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空间向量与立体几何 四

1如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF FB，AB 2EF，

BFC 90 ，BF FC，H为BC的中点。

(1)求证：FH∥平面EDB；

(2)求证：AC 平面EDB； (3)求二面角B DE C的大小。

2、已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=的中点.

（Ⅰ）证明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

1

AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC2

E、F分别是棱BC,CC1 3如图，在长方体ABCD A1BC11D1中，

上的点，CF AB 2CE,AB:AD:AA1 1:2:4 （1） 求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； （2） 证明AF 平面

A1ED

（3） 求二面角A1 ED F的正弦值。

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4如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径。

（I）证明：平面A1ACC1 平面B1BCC1；

（II）设AB＝AA1,在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为p。

（i）当点C在圆周上运动时，求p的最大值；

（ii）记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为 （0 90）。当p取最大值时，求cos 的值。

5（2010·陕西高考理科·Ｔ１8）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，

BC

=E，F分别是AD,PC的中点.

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；

（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。

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6.如题图，四棱锥P ABCD中，

底面ABCD为矩形，PA 底面

ABCD，PA AB ， 点E是棱PB的中点.

（I）证明：AE 平面PBC；

（II）若AD 1，求二面角B EC D的平面角的余弦值.

7如图， BCD与 MCD都是边长为2的正三角形，

平面MCD 平面BCD，AB 平面BCD

，AB （1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小； （2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.

A

M

B

D

C

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8已知正方体ABCD A B C D 的棱长为1，点M是棱AA 的中点， 点O是对角线BD 的中点.

（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA 和BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角M BC B 的大小； （Ⅲ）求三棱锥M OBC的体积.

9已知点A（-3,1,-4），则点A关于x轴的对称点的坐标为( ) (A)（-3,-1,4）(B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)

10.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

11 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为 2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于点O，

PO ,E、F分别是BC、AP的中点．

（1）求证：EF∥平面PCD； （2）求二面角A—BP—D的余弦值．

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12 某组合体由直三棱柱ABC A1B1C1与正三棱锥B ACD组成，如图所示，其中，AB BC．它的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为22+1，1，22+1．

（1）求直线CA1与平面ACD所成角的正弦；

（2）在线段AC1上是否存在点P，使B1P 平面ACD，若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．

13 如图，三棱柱ABC A1B1C1中，AA1 面ABC，

BC AC,BC AC 2，AA1 3，D为AC的中点。

(I)求证：AB1//面BDC1；

(Ⅱ)求二面角C1 BD C的余弦值

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参考答案

1．【解析】选A.∵点A关于x轴对称点的规律是在x轴上的坐标不变，在y轴，z轴上的坐标分别变为相反数，∴点A（-3，1，-4）关于x轴的对称点的坐标为（-3,-1,4）.

2．【解析】选B.以A为坐标原点，AC、AA1分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系.设底面边长为2a.侧棱长为

2b.

3．D 4．D 5．C 6．A 7．64 8．9．（1）（2）（4）

10．解：（1）证明：取PD的中点G，连接FG、CG

1

∵FG是△PAD的中卫县，∴

FG2AD，

在菱形ABCD中，ADBC，又E为BC的中点，

∴CE

FG，∴四边形EFGC是平行四边形，

∴EF∥CG

又EF 面PCD，CG 面PCD，

∴EF∥面PCD

（2）法1：以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x、y、z轴建立如

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图所示的空间直角坐标系。

则0（0，0，0），A（0， 3，0），B（1，0，0）P（0，0，）

=（1，，0）=（0，，）

设面ABP的发向量为n (x,y,z)，则

x y n 0 x y 0

n AP 0，即 3y z 0即 z y

取n (3, 1,1)

又 0， 0，

∴OA⊥面PBD，∴为面PBD的发向量， ∴OA=（0， ，0）

cos n,OA

3 3

5

.

5

所以所求二面角的余弦值为5

法2：在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∵OP⊥面ABCD，AC 面ABCD， ∴AC⊥OP，OP BD=0， ∴AC⊥面PBD，AC⊥BP，

在面PBD中，过O作ON⊥PB，连AN，PB⊥面AON，则AN⊥PB。 即∠ANO为所求二面角的平面角 AO=ABcos30°= 在Rt△POB中，

ON

OP OB BP2，

2

AN OA2 ON2

∴

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ONANO

AN52∴cos∠。 5

所以所求二面角的余弦值为5

11．【解析】

解：（1）设BA BC BD a,BB1 b12

ab a 1 a 2由条件

b 2 1a2 1

2

以点B为原点，分别以BC、

BB

1、BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

则ACD(0,B1(0,2,0),C12,0),A1(0,

ACD的重心G a BG=

为平面ACD的法向量

.

3 33

33 3

又

CA

1 (则cos

a,CA1

(2)令AP mAC1 ,2m, B1P B1A AP ,2m a

3

2m 2 无解

3

不存在满足条件的点P.

12．解：（1）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点， ∵D为AC中点 ∴OD∥B1A 又B1A 平面BDC1，OD 平面BDC1 ∴B1A∥平面BDC1

（2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1

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∴CC1⊥面ABC 则BC⊥平面AC1，CC1⊥AC

如图以C为坐标原点，CA所在直线为X轴，CB所在直线为Y轴，角坐标系 则C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0)

CC1所在直线为Z轴建立空间直

CDB的法向量为n (x,y,z) 由n C1D,n C1B得

∴设平面1

x 3z 0,2y 3z 0，取z 2， 则n (6,3,2)

CC1 (0,0,3)

又平面BDC的法向量为

C1C,n

cos

1

27

2

∴二面角C1—BD—C的余弦值为7

【备课资源】

1.已知两条异面直线a、b所成的角为40°，直线l与a、b所成的角都等于θ，则θ的取值范围是( ) (A)［20°,90°］ (C)(20°,40°］ 【解析】选

A.

(B)［20°,90°)

(D)［70°,90°］

取空间任一点O， …… 此处隐藏：1827字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……