2015年考研数学(三)真题及答案详解

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析

一、选择题:1

8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项

符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

(1)设 xn 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若limxn a,则 limx2n limx2n 1 a

n

n

n

(B) 若limx2n limx2n 1 a, 则limxn a

n

n

n

(C) 若limxn a,则 limx3n limx3n 1 a

n

n

n

(D) 若limx3n limx3n 1 a,则limxn a

n

n

n

【答案】(D)

【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.

数列xn a n 对任意的子列xnk均有xnk a k ,所以A、B、C正确； D错(D选项缺少x3n 2的敛散性),故选D

(2) 设函数f x 在 , 内连续,其2阶导函数f x 的图形如右图所示,则曲线y f x 的拐点个数为 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)

【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是f (x)不存在的点或

f (x) 0的点处产生.所以y f(x)有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改

变的点；二阶导函数f

(x)符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.

(3) 设 D

x,y x

2cos

2

y2 2x,x2 y2 2y,函数f x,y 在D上连续,则

f x,y dxdy ( )

D

(A)

40

d d

f rcos ,rsin rdr d f rcos ,rsin rdr d

2 4

2 4

2sin

f rcos ,rsin rdr f rcos ,rsin rdr

(B)

40

2sin 2cos

00

(C) 2dx

0

10

1x

1f

x,y dy

(D) 2dx

x

f

x,y dy

【答案】(B)

【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域

D1 (r, )0 ,0 r 2sin D2 (r, ) ,0 r 2cos

442

所以

D

f(x,y)dxdy 4d

2sin

f(rcos ,rsin )rdr 2d

4

2cos

f(rcos ,rsin )rdr，

故选B.

(4) 下列级数中发散的是( )

n

(A) n (B)

n 13

n

1

)

( 1)n 1

(C) (D)

n 2

n!

n n 1n

【答案】(C)

n 1n 1n 11 lim 1，所以根据正项级数的比值【解析】A为正项级数，因为limn n 3nn3

3n

判别法

1n

)B

收敛； n

n3n 1

1n

，根据P级数收敛准则，知

n 1

1( 1)n 1 ( 1)n 1 )收敛；C， ，根据莱布尼茨判别法知

nlnnlnnlnnn 1n 1n 1

1( 1)n 1发散，所以根据级数收敛定义知， 发散；D为正项级 lnnlnnn 1n 1

( 1)n

收敛，

n 1lnn

(n 1)!

n

(n 1)!nn(n 1)n 1 n 1

数，因为lim lim lim 1，所以根据正项级数n n n!n!(n 1)n 1n n 1 e

nn

的比值判别法

n! n收敛，所以选C. nn 1

1 111

(5)设矩阵A 12a ,b d .若集合 1,2 ，则线性方程组Ax b有无穷

14a2 d2

多解的充分必要条件为 ( )

(A) a ,d (B) a ,d (C) a ,d (D) a ,d 【答案】(D)

111

【解析】(A,b) 12a

14a2 1 1111 d 01a 1d 1 2 d 00(a 1)(a 2)(d 1)(d 2)

，

由r(A) r(A,b) 3，故a 1或a 2，同时d 1或d 2.故选（D） f x1,x2,x3 在正交变换x Py下的标准形为2y1 y2 y3，其中

2

2

2

P (e1,e2,e3)，若Q (e1, e3,e2)则f (x1,x2,x3)在正交变换x Qy下的标准形为

( )

(A)2y1 y2 y3 (B) 2y1 y2 y3 (C) 2y1 y2 y3 (D) 2y1 y2 y3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

200

T222

【解】由x Py，故f xTAx yT(PTAP)y 2y1.且PAP 010 . y2 y3

00 1

100 200

TTT

又因为Q P 001 PC,故有QAQ C(PAP)C 0 10

0 10 001

222

所以f xTAx yT(QTAQ)y 2y1.选（A） y2 y3

(7) 若A,B为任意两个随机事件,则: ( ) (A)P AB P A P B (B)P AB P A P B (C) P AB 【答案】(C)

P A P B

2

(D) P AB

P A P B

2

【解析】由于AB A,AB B，按概率的基本性质，我们有P(AB) P(A)且

P(AB)

P(B)，从而P(AB)

(8) 设总体X~B m, ,X1,X2,

n 值,则E Xi X i 1

P(A) P(B)

，选(C) .

2

,Xn为来自该总体的简单随机样本, X为样本均

( )

2

(A) m 1 n 1 (B)m n 1 1 (C) m 1 n 1 1 (D)mn 1 【答案】(B)

1n22

【解析】根据样本方差S 的性质E(S) D(X)，而(X X) i

n 1i 1

2

D(X) m (1 )，从而E[ (Xi X)2] (n 1)E(S2) m(n 1) (1 )，选(B) .

i 1

n

二、填空题：9(9) lim

14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

ln(cosx)

__________. 2x 0x

【答案】

1 2

ln(1 cosx 1)cosx 11

lim 22x 0x 0xx2

【解析】原极限 lim

(10)设函数f(x)连续， (x) 【答案】2

x2

xf(t)dt,若 (1) 1, (1) 5,则f(1) ________.

【解析】因为f(x)连续，所以 (x)可导，所以 (x) 因为 (1) 1，所以 (1)

x2

f(t)dt 2x2f(x2)；

1

f(t)dt 1

10

又因为 (1) 5，所以 (1) f(t)dt 2f(1) 5 故f(1) 2

(11)若函数z z(x,y)由方程e

x 2y 3z

xyz 1确定，则dz

(0,0)

_________.

12

dx dy 【答案】33

【解析】当x 0，y 0时带入ex 2y 3z xyz 1，得z 0. 对ex 2y 3z xyz 1求微分，得

d(ex 2y 3z xyz) ex 2y 3zd(x 2y 3z) d(xyz) ex 2y 3z(dx 2dy 3dz) yzdx xzdy xydz 0

把x 0，y 0，z 0代入上式，得dx 2dy 3dz 0 所以dz(0,0) dx

132dy 3

(12)设函数y y(x)是微分方程y y 2y 0的解，且在x 0处取得极值3，则

y(x) ________.

【答案】y(x) e 2x 2ex

【解析】y y 2y 0的特征方程为 2 2 0，特征根为 2， 1，所以该齐次微分方程的通解为y(x) C1e

2x

C2ex，因为y(x)可导，所以x 0为驻点，即

y(0) 3，y (0) 0，所以C1 1，C2 2，故y(x) e 2x 2ex

(13)设3阶矩阵A的特征值 …… 此处隐藏：6352字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……