数字信号处理及应用 王华奎 部分答案

若 x(n) =

正弦序列的周期性 Asin(w0n + f )，则

x(n + N ) = A sin [( N + n)w0 + f ] = A sin [N w0 + nw0 + f ] 若 N w0 = 2k p，k为整数，则

x(n) = x(n + N )

按周期序列的定义，该正弦序列为周期序列。

要求周期满足

2p k N= w0

需分三种情况讨论。

1、当 2p w0 为整数时，k＝1，正弦序 列是周期序列，且N＝ 2p w0 。

2p N= k w0

2、 2p w0 是一个有理数，设 2p w0 = P Q (P、Q互为素数)取k＝Q，那么N＝P,正弦序 列是周期序列，且N＝P。

2p w0 是无理数，正弦序列不是周期序列。 3、

习题课

第一章

1.1

xa (t )

a (t ) x

G ( j )

ya1 (t )

T

1 4， 4 已知， G ( j ) 0， 4

， s 8

xa1 (t ) cos(2 t )， xa 2 (t ) cos(5 t )

问： ya1 (t )、ya 2 (t ) 有无失真？

解：根据采样定理： s 2 h 可知

ya1 (t ) 无失真， ya 2 (t ) 将失真。

1.5 判断周期性

3 p (2) x(n) = A sin( n + ), A是常数； 4 4

3 P 2p 8p = = 解（2） w0 = ， 是无理数，因此 4 Q w0 3

x(n) 是非周期序列。

系统的因果性

根据因果性的定义：输出变化不会发生在输入 变化之前的系统称为因果系统。

则

n n0 时，y1 (n1 ) y2 (n1 )

即对于因果系统，若 n n0 时，x1 (n1 ) x2 (n1 ) ，由此推得

LSI系统因果稳定的充要条件

h(n) 0， (n 0)

n

h( n ) M

1.6 判断下列 h(n) 的因果性与稳定性。

(1) ( n)

(3) u (3 n)

(2) (n n0 )，n0 0或n0 0

(4) 3 u (n)

n

解：（1）因为 n 0 时， h(n) (n) 0 ，所以 系统是因果的。而

n

h ( n) 1

所以系统是稳定的。 （2）当 n0 0 时，若 n 0，h(n) (n n0 ) 0 所以系统是因果的。 当 n0 0 时，若 n 0 ，h(n) (n n0 ) 0 ，所 以系统是非因果的。而

n

h ( n) 1

所以系统是稳定的。

（3）当 n 0 时，h(n) u(3 n) 0 ，所以系统 是非因果的。而

n

h(n) 1 1

3

所以系统是非稳定的。

n h ( n ) 3 u(n) 0 ，所以系统 （4）当 n 0 时， 是因果的。而

n

h(n) 30 31

所以系统是非稳定的。

1.7 判断下列系统的:

（a）线性；（b）时不变性；（c）因果； （d）稳定；

(1) T [ x(n)] g (n) x(n)

(3) T [ x(n)] e

x(n)

（1）解：由 T [ x(n)] g (n) x(n) 得

T [ax1 (n) bx2 (n)] g (n)[ax1 (n) bx2 (n)] g (n) ax1 (n) g (n) bx2 (n) aT x1 (n) bT x2 (n)

所以系统是线性系统。

由于 T [ x(n m)] g (n) x(n m)，

y(n m) g (n m) x(n m)， 即 T [ x(n m)] y(n m) ，所以系统不是移不变的。

（3）解：由 T [ x(n)] e x ( n )得

T[ax1 (n