概率、期望与方差的计算和性质

概率与统计

知识点一：常见的概率类型与概率计算公式； 类型一：古典概型；

1、 古典概型的基本特点：

（1） 基本事件数有限多个；

（2） 每个基本事件之间互斥且等可能； 2、 概率计算公式：

A事件发生的概率P(A)

A事件所包含的基本事件数

;

总的基本事件数

类型二：几何概型；

1、 几何概型的基本特点：

（1） 基本事件数有无限多个；

（2） 每个基本事件之间互斥且等可能； 2、 概率计算公式：

A事件发生的概率P(A)

构成A事件的区域长度（或面积或体积或角度）

；

总的区域长度（或面积或体积或角度）

注意：

（1） 究竟是长度比还是面积比还是体积比，关键是看表达该概率问题需要几个变量，如

果需要一个变量，则应该是长度比或者角度比；若需要两个变量则应该是面积比；当然如果是必须要三个变量则必为体积比；

（2） 如果是用一个变量，到底是角度问题还是长度问题，关键是看谁是变化的主体，哪

一个是等可能的； 例如：等腰 ABC中，角C=

2

，则： 3

（1） 若点M是线段AB上一点，求使得AM AC的概率； （2） 若射线CA绕着点C向射线CB旋转，且射线CA与线段AB始终相交且交点是M，求

使得AM AC的概率；

解析：第一问中明确M为AB上动点，即点M是在AB上均匀分布，所以这一问应该是长度

之比，所求概率：P1; 3而第二问中真正变化的主体是射线的转动，所以角度的变化是均匀的，所以这一问应该是角度之比的问题，所以所求的概率：P2=

755

=； 120 8

知识点二：常见的概率计算性质； 类型一：事件间的关系与运算； A+B（和事件）：表示A、B两个事件至少有一个发生； A B（积事件）：表示A、B两个事件同时发生；

A（对立事件）：表示事件A的对立事件；

类型二：复杂事件的概率计算公式； 1、 和事件的概率：

P(A B)=P(A) P(B) P(A B)

（1）特别的，若A与B为互斥事件，则：

P(A B)=P(A) P(B)

（2）对立事件的概率公式：

P(A) 1 P(A)

2、 积事件的概率：

（1）若事件A1、A2、、An相互独立，则：

P(A1 A2 An) P(A1) P(A2) P(An)

（2）n次独立重复的贝努利实验中，某事件A在每一次实验中发生的概率都为p，则在n次试验中事件A发生k次的概率：

kkn k

P(A)kn Cnp(1 p)

类型三：条件概率；

1、 条件概率的定义：我们把在事件A发生的条件下事件B发生的概率记为：P(B|A)；

且P(B|A)

P(A B)

P(A)

2、 三个常见公式：

（1） 乘法公式：P(A B) P(A) P(B|A)

（2） 全概率公式：设A1,A2,A3,

n

,An是一组互斥的事件且 Ak ，则对于任何

k 1

n

一个事件B都有：P(B)

P(A

k 1

k

B) P(Ai) P(B|Ai)

k 1

n

n

（3） 贝叶斯公式：设A1,A2,A3,

,An是一组互斥的事件且 Ak

k 1

则对于任何一个事件B都有：P(Aj|B)

P(Aj) P(B|Aj)

P(A) P(B|A)

i

i

k 1

n

知识点三：求解一般概率问题的步骤；

第一步：确定事件的性质：等可能事件、互斥事件、相互独立事件、n次独立重复实验等； 第二步：确定事件的运算：和事件、积事件、条件概率等；

第三步：运用相应公式，算出结果；

知识点三：常见的统计学数字特征量及其计算； 特征量一：平均数（数学期望） 计算公式一：x

1

(x1 x2 x3 n

n

i

i

xn)；

计算公式二：Ex

x P(x x)；

k 1

计算公式三：（若随机变量x是连续型随机变量，且函数f(x)是它的密度函数）

Ex

xf(x)dx

特征量二：中位数

将所有的数从大到小排或者从小到大排，若共有奇数个数，则正中间的那个数叫做这一列数的中位数；若共有偶数个数，那么正中间那两个数的平均数叫做这一列数的中位数。

特征量三：众数

将所有数中出现次数最多且次数超过1次的数叫做这一列数的众数。一列数的众数可以有多个，也可以没有。

特征量四：方差

方差反映一组数或者一个统计变量的稳定程度，方差越小数值越稳定，方差越大则数值波动越大。

1n

计算公式一：Dx [ (xk x)2]；

nk 1

1n

计算公式二：Dx [ P(x xk) (xk Ex)2]；

nk 1

计算公式三：Dx Ex2 (Ex)2； 注：期望和方差的性质: 性质1：E(c) c；

性质2：E(ax b) aEx b； 性质3：E(x1 x2

xn) Ex1 Ex2 Exn；

性质4：若x,y相互独立，则：E(x y) (Ex) (Ey)； 性质5：D(x) E(x E(x)) E(x) (E(x))；

2

2

2

性质6：D(c) 0；

性质7：D(ax b) a2D(x)；

性质8：若x,y为两个随机变量则：D(x y) D(x) D(y) 2[(x E(x)) (y E(y))]； 性质9：若x1,x2,

,xn是相互独立的随机变量，则： D(x1 x2

xn) D(x1) D(x2)

D(xn)；

知识点四：简单的统计学知识；

问题一：统计学中的简单的抽样方法； 方法一：简单随机抽样； 1、 基本原理：根据研究目的选定总体，首先对总体中所有的观察单位编号，遵循随机原则，

采用不放回抽取方法，从总体中随机抽取一定数量观察单位组成样本。 2、 具体做法：①随机数字法 ； ② 抽签法； 3、 优缺点分析：

优点：基本原理比较简单；

当总体容量不大时比较方便； 抽样误差的计算较方便；

缺点：对所有观察单位编号，当数量大时，有难度； 方法二：系统抽样；

1、 基本原理：先将总体的观察单位按某顺序号等分成n个部分再从第一部分随机抽第k号

观察单位，依次用相等间隔，机械地从每一部分各抽取一个观察单位组成样本； 2、 优缺点分析：

优点：抽样方法简便，特别是容量比较大的时候；

易得到一个按比例分配的样本，抽样误差较小； 缺点：仍需对每个观察单位编号；

当观察单位按顺序有周期趋势或单调性趋势时，产生明显偏性；

方法三：分层抽样；

1、 基本原理：先将总体按某种特征分成若干层，再从每一层内随机抽取一定数量的观察单

位，合起来组成样本。 2、 具体做法：

第一步：计算每一层个体数与总体容量的比值；

第二步：用样本容量分别乘以每一层的比值，得出每层应抽取的个体数； 第三步：用简单随机抽样的方法产生样本； 3、 优缺点分析：

优点：在一定程度上控制了抽样误差，尤其是最优分配法；

缺点：总体必须要能分成差别比较大的几层时才能用，局限性比较大； 总结：以上三种抽样方法的共同特征是每个个体被抽中的可能性相同；

知识点五：常用的几个统计学图表；

图表一：频率分布直方图与频率分布折线图； 1、 说明几个基本概念：

（1） 频数：符合某一条件的个体个数；

（2） 频率：频率=

频数

；（在必要情况下，可以近视的看作概率；所有组的频率之和总数

是1；）

2、 认识频率分布直方图：

（1） 横标是分组的情况；

（2） 纵标不是频率，而是频率/组距；小方框的面积才是频率；所有的面积和为1； 3、 画频率分布直方图 …… 此处隐藏：4171字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……