必修5B版_第3章不等式_3.2均值不等式_课件2

3.2 均值不等式

a b

同学们，这是北京召开的第24届国际数学家 大会的会标(如图),大家想一想，你能通 过这个简单的风车造型中得到一些相等和不 等关系吗？ 提问1:该图中有4个全等的直角三角 形.设直角三角形的长为a、b,那么正方 形的边长为多少？面积为多少呢？

a b2

2

a 2 b2

图1

提问2:那4个直角三角形的面积和呢？ 2ab

提问3:好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个什么不等式呢?什么时候这两部分面积相等呢？

根据面积我们得到 a b 2ab 当直角三角形变成等腰直角三角 形，即正方形EFGH变成一个点，这时有等号成立。具有这种 形式的不等式就是我们今天研究的课题——均值不等式2 2

均值定理：

如果a,

b∈R+,那么

a b 2

ab

(当且仅当a=b 时，式中等号成立)2 2 ( a ) ( b ) 2 a b 因为 证明：

所以

a b 2 aba b 2 aba b 2 ab

即：

当且仅当a=b时

a b 为a,b 的算术平均数， 称 2称

ab 为a,b 的几何平均数。

注意：1.适用的范围：a, b 为非负数.2.语言表述：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3.我们把不等式称为基本不等式

a b ab(a≥0,b≥0) 2

a b 看做两个正数a,b 的等差中项， 把 2 ab 看做正数a,b的等比中项，那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等 式呢?

几何直观解释： 具体作图如下：a+b 2

Ca b ab 2

ab

令

A

aO

B 正 D b

(1)作线段AB=a+b,使AD=a,DB=b,

数a

(2)以AB为直径作半圆O;(3)过D点作CD⊥AB于D,交半圆于点C

,

(4)连接AC,BC,CA,则

a b OC 2

CD ab当a≠b时，OC>CD,即 当a=b时，OC=CD,即

a b ab 2

a b ab 2

例1.(1)一个矩形的面积为100m2,问这个矩形的 长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多 少？ 分析：在题中，矩形的长与宽的乘积是一个常数，求长 与宽的和的2倍的最小值 解：设矩形的长、宽分别为x(m),y(m),依题意有 xy=100(m2),因为x>0,y>0,所以 因此，即2(x+y)≥40。x y ≥ 2 xy

当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=10。 答：当这个矩形的长与宽都是10m时，它的周长最短， 最短周长是40m. 规律： 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；

练习：已知矩形的周长是36m,问这个矩形的 长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面 积是多少？ 分析：矩形的长与宽的和的2倍是一个常数，求 长与宽的乘积的最大值 解：设矩形的长、宽分别为x(m),y(m), 依题意有2(x+y)=36,即x+y=18 因为x>0,y>0,所以

及将这个正值不等式的两 边平方，得xy≤81

当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=9, 答：当这个矩形的长与宽都是9m时，它的面积 最大，最大值是81m2

规律：两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。

小结： 知识：均值定理及其成立的条件，及其均 值定理 的应用 方法：一正，二定，三相等。 思想：类比和数形结合的思想。 作业： 基础题：课本 第77页A组 1. 提高题：课本 第77页A组 3.4 研究题：设正数a、b,试尽可能多的给出 含有a和b的两个元素的不等式.