函数与数列的极限的强化练习题答案

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案

一、单项选择题

1．下面函数与y x为同一函数的是（ ）

A.y

∴选C

4．下列函数在 , 内无界的是（ ） A.y

11 x

2

B.y arctax n

lnx

2

C.y sinx cosx D.y xsinx

x1 x

2

B.y C.y e

x

D.y lne

解: 排除法：A

x2x

12

有界，

解： y lnex xlne x，且定义域Barctanx

, ， ∴选D

2．已知 是f的反函数，则f 2x 的反函数是（ ） A.y C.y

1212

2

故选D

n

有界，

C sinx cosx

5．数列 xn 有界是limxn存在的（ ） A 必要条件 B 充分条件

C 充分必要条件 D 无关条件 解：

x B.y 2 x xn

收敛时，数列xn有界（即

2x 2x D.y 2

12

y ,互

xn M），反之不成立，（如

1

n 1

有界，

解:令y f 2x ,反解出x：x 换x，y位置得反函数y

12

但不收敛，

选A 6．当n 时，sin2

1n

x ，选A

与

1n

k

为等价无穷小，

3．设f x 在 , 有定义，则下列函数为奇函数的是（ ） A.y f x f x

则k= （ ）

1

A B 1 C 2 D -2

2

sin

2

11

2

解： lim

B.y x fC.y xf

3

x f x

n

n limn 1，k 2 选C

n 11

k

k

x

2

nn

二、填空题（每小题4分，共24分）

7．设f x

D.y f x f x

11 x

，则f f x 的定义域

为

1 解： ∵f f x 1 fx

解： y x3f x2 的定义域 , 且y x x f x

3

2

11

11 x

xf x

3

2

y x

x 1

1 x2 x

解： 当n 时，sin

∴f f x 定义域为

( , 2) ( 2, 1) ( 1, )

22

～ ∴原式nn

8．设f(x 2) x2 1, 则f(x 1)

解：（1）令x 2 t,f t t 4t 5

2

63n2 52

=lim = n 5n 3n5

三、计算题（每小题8分，共64分）

arcsin

2x 113

．求函数y 的定义域

f x x 4x 5

2

（2）f x 1 (x 1) 4(x 1) 5 x 6x 10

2

2

1 2x 1 1

7解：

x 1 0

3 x 4

x 1或x 1

9

．函数y log4log42的反函数是

解：（1

）y log4，反解出x：x 42y 1 （2）互换x,y位置，得反函数y 42x 1 10

．lim

∴函数的定义域为 3, 1) 1,4

x

1 cosx 求f2

n

3

14．设f sin

x

解

：原式

有理化

lim

n

x 22

解： f sin 2cos

2

f

1 2

2

x2

2x 2 1 sin

2

5

11．若lim 1

n n

kn

e

10

,

则k 解：左式=e

5

( kn)n nlim

故f x 2 1 x2

e 5k e 10 故

k 2

12．lim

3n 55n 3

2

15．设f x lnx，g x 的反函数

2 x 1 x 1

n

sin

2n

g

1

x

，求f g x

2x 2 ∴反解: （1） 求g(x): y

x 1解出x：xy y 2x 2互换x,y位置得g(x) (2)

f g

f(x) g(x)

1x 1

2

1x 1

1x 1

x

y 2

y 2

2 得2f x

x 2 x 2

ln

故 f(x)

1x 1

2

1x 1

1x 1

x

lng

x

x 2

x 2

2 得2g x

故g(x)

xx 1

2

16．判别f

x lnx 的奇偶性。 解法（1）：f x 的定义域 , ，关于原点对称

n

f

x ln x

ln

n 2a 3

18．设lim 8，求a的值。 n

n a

解

3

：

n

lnx

1

ln(x

3a 3 n 2a n

lim lim 1 n n n an a

f x

f

x ln(x 为奇函数

en n a e, e

a

lim

na

a

8

n

x解法（2）：

f

ln(x ln (x

fx

故a ln8 3ln2

ln x

1 11

19．求lim n 1 22 3nn 1

x ln1 0

解：（1）拆项，

1k

1k 1

1k(k 1)

k 1 k(k 1)k

f x f x 故f x 为奇函数

k 1,2, ,n

17．已知f x 为偶函数，g x 为奇函数，且f x g x

1x 1

1

，求f x 及g x

1x 1

1 2

12 3

1n n 1

解： 已知f(x) g(x)

f( x) g( x)

1 x 1

1 11 1 1

1

223nn 1

即有

1

1

n 1

（2）原式=lim 1 n

lim n

n 1n 1

n 1 en 1

e 20．设f x ax

a 0,a 1 ,

求lim

1

n

2

ln f 1 f 2 f n

n解： 原式=lim1

n n

2ln a1 a2 an

lim

1

n n2

lna 2lna nlna

lna lim

1 2 n

n n2

lna lim

(n 1)nn

n2

2

1

2

lna a 0,a 1 四、综合题（每小题10分，共20分） 21．设f x

=

f x =

3f

f

f

x 并讨论

f3 x 的奇偶性与有

界性。

解：（1）求f3 x

f

x

f2 x

fx

ffx

3 x f f2 x

（2）讨论f3 x

的奇偶性

f3 x

f3 x

f3 x 为奇函数

（3）讨论f3 x 的有界性

f3

x

f3 x 有界

22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为 的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角 的函数。

解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h，底

半径为r，依题意：漏斗容积V=1

3 r2h

h

2 r

R

R2

r

2

4

2h

2

故V

R

R

34

22

（2）函数的定义 …… 此处隐藏：9001字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……