《有限元基础教程》_【MATLAB算例】3.3.7(2) 三梁平面框架结构

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【MATLAB算例】3.3.7(2) 三梁平面框架结构的有限元分析(Beam2D2Node)

如图3-19所示的框架结构，其顶端受均布力作用，结构中各个截面的参数都为：E 3.0 1011Pa，I 6.5 10 7m4，A 6.8 10 4m2。试基于MATLAB平台求解该结构的节点位移以及支反力。

图3-19 框架结构受一均布力作用

解答：对该问题进行有限元分析的过程如下。

（1） 结构的离散化与编号

将该结构离散为3个单元，节点位移及单元编号如图3-20所示，有关节点和单元的信息见表3-5。

（a） 节点位移及单元编号

（b） 等效在节点上的外力

图3-20 单元划分、节点位移及节点上的外载

（2） 各个单元的描述

首先在MATLAB环境下，输入弹性模量E、横截面积A、惯性矩I和长度L，然后针

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对单元1，单元2和单元3，分别二次调用函数Beam2D2Node_ElementStiffness，就可以得到单元的刚度矩阵k1(6×6)和k2(6×6)，且单元2和单元3的刚度矩阵相同。

>> E=3E11;

>> I=6.5E-7;

>> A=6.8E-4;

>> L1=1.44;

>> L2=0.96;

>> k1=Beam2D2Node_Stiffness(E,I,A,L1);

>> k2=Beam2D2Node_Stiffness(E,I,A,L2);

（3） 建立整体刚度方程

将单元2和单元3的刚度矩阵转换成整体坐标下的形式。由于该结构共有4个节点，则总共的自由度数为12，因此，结构总的刚度矩阵为KK(12×12)，对KK清零，然后两次调用函数Beam2D2Node_Assemble进行刚度矩阵的组装。

>> T=[0,1,0,0,0,0;-1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,-1,0,0;0,0,0,0,0,1];

>> k3=T'*k2*T;

>> KK=zeros(12,12);

>> KK=Beam2D2Node_Assemble(KK,k1,1,2);

>> KK=Beam2D2Node_Assemble(KK,k3,3,1);

>> KK=Beam2D2Node_Assemble(KK,k3,4,2)

KK = 1.0e+008 *

1.4431 0 0.0127 -1.4167 0 0 -0.0264 0 0.0127 0 0 0 0 2.1328 0.0056 0 -0.0078 0.0056 0 -2.1250 0 0 0 0 0.0127 0.0056 0.0135 0 -0.0056 0.0027 -0.0127 0 0.0041 0 0 0 -1.4167 0 0 1.4431 0 0.0127 0 0 0 -0.0264 0 0.0127 0 -0.0078 -0.0056 0 2.1328 -0.0056 0 0 0 0 -2.1250 0 0 0.0056 0.0027 0.0127 -0.0056 0.0135 0 0 0 -0.0127 0 0.0041 -0.0264 0 -0.0127 0 0 0 0.0264 0 -0.0127 0 0 0 0 -2.1250 0 0 0 0 0 2.1250 0 0 0 0 0.0127 0 0.0041 0 0 0 -0.0127 0 0.0081 0 0 0 0 0 0 -0.0264 0 -0.0127 0 0 0 0.0264 0 -0.0127 0 0 0 0 -2.1250 0 0 0 0 0 2.1250 0 0 0 0 0.0127 0 0.0041 0 0 0 -0.0127 0 0.0081

（4） 边界条件的处理及刚度方程求解

该问题的位移边界条件为u3 v3 3 u4 v4 4 0。因此，将针对节点1和节点2的位移进行求解，节点1和节点2的位移将对应KK矩阵中的前6行和前6列，则需从KK(12×12)中提出，置给k，然后生成对应的载荷列阵p，再采用高斯消去法进行求解。注意：MATLAB中的反斜线符号“\”就是采用高斯消去法。

>> k=KK(1:6,1:6);

>> p=[3000;-3000;-720;0;-3000;720];

>> u=k\p

u = 0.0009 -0.0000 -0.0014 0.0009 -0.0000 -0.0000 [将列排成了行]

（5）支反力的计算

在得到整个结构的节点位移后，由原整体刚度方程就可以计算出对应的支反力；先将上面得到的位移结果与位移边界条件的节点位移进行组合(注意位置关系)，可以得到整体的位移列阵U(12×1)，再代回原整体刚度方程，计算出所有的节点力P(12×1)，按式(3-180)的对应关系就可以找到对应的支反力。

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>> U=[u;0;0;0;0;0;0]

U = 0.0009 -0.0000 -0.0014 0.0009 -0.0000 -0.0000 [将列排成了行] 0 0 0 0 0 0 [将列排成了行] >> P=KK*U

P = 1.0e+003 *

3.0000 -3.0000 -0.7200 0.0000 -3.0000 0.7200 [将列排成了行] -0.6658 2.2012 0.6014 -2.3342 3.7988 1.1283 [将列排成了行]