量子力学教程高等教育出版社周世勋课后答案详解(2)

解:J1和J2只有r分量

1 1

e 在球坐标中 r0 e

rr rsin

(1) J i 2m

( **

1 1 1 1 1)

i 2m[1reikr r(1re ikr) 1 ikr 1ikr

re r(r

e)]r0

i 111111 2m[r(

r2 ikr) r( r2 ikr)]r0

kmr2r k

0 mr

3

r J与

1r同向。表示向外传播的球面波。

(2) Ji **

2 2m

( 2 2 2 )

i 2m[1re ikr 1ikr1ikr 1 ikr

r(re) re r(re)]r0

i 11112m[r( 11

r2 ikr) r( r2 ikr)]r0

k k

mr2r0 mr

3r

可见,J

2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。

补充:设 (x) eikx,粒子的位置几率分布如何?这个波函数能否归一化?

* dx dx

∴波函数不能按

(x)

2

dx 1方式归一化。

其相对位置几率分布函数为 2

1表示粒子在空间各处出现的几率相同。

2.3 一粒子在一维势场

,x U(x)

0 0,

0 x a

,x a中运动,求粒子的能级和对应的波函数。

解:U(x)与t无关,是定态问题。其定态S—方程

2d2

(x) U(x) (x) E (x) 2

2mdx 在各区域的具体形式为

2d2

Ⅰ:x 0 1(x) U(x) 1(x) E 1(x) ① 2

2mdx 2d2

Ⅱ: 0 x a 2(x) E 2(x) ②

2mdx2 2d2

Ⅲ:x a 3(x) U(x) 3(x) E 3(x) ③ 2

2mdx由于(1)、(3)方程中,由于U(x) ,要等式成立,必须

1(x) 0 2(x) 0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

d2 2(x)2mE

2 2(x) 0 方程(2)可变为2

dx

令k2

2mE

,得 2

d2 2(x)2

k 2(x) 0 2

dx 其解为 2(x) Asinkx Bcoskx ④ 根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件,得 2(0) 1(0) ⑤

2(a) 3(a) ⑥

⑤ B 0 ⑥ Asinka 0

A 0 sinka 0

ka n (n 1, 2, 3, )

n

x a

∴ 2(x) Asin

由归一化条件

(x)dx 1

2

得 A

2

a

sin

2n

a

xdx 1 0

a

由

b

sin

m ax sinn a

axdx 2

mn A 2

a

2

2(x) asin a

x k2

2mE 2

2 En

2

22ma

2

n (n 1,2,3, )可见E是量子化的。

对应于En的归一化的定态波函数为

2 (x,t)

asinn i

a

xe Ent

, 0 x an

0, x a, x a #

2.4. 证明(2.6-14)式中的归一化常数是A

1a

证

A sinn :

(x a), na

0, (2.6-14)

由归一化,得

x ax a

1 ndx A 2sin2

a

2

a

n

(x a)dxa

A 2

1n [1 cos(x a)]dx a2a

aa

A 2A 2

x

2 a2

a

a

cos

n

(x a)dxa

a

A 2an 2

A a sin(x a)

2n a a A 2a

∴归一化常数A

1a

#

2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

解: (x) 2 xe2

21

22

x

1(x) 1(x) 4 2

2

x2e

222

x

2

3

x2e

22

x

22d 1(x)2 3

[2x 2 2x3]e x

dx 令

d 1(x)

0,得 dx

1

x 0 x x

由 1(x)的表达式可知,x 0 ,显然不是最大几率的位置。 1(x) 0。 x 时,

d2 1(x)2 322223 2x2

而 [(2 6 x) 2 x(2x 2 x)]e

dx2 3

224

[(1 5 2x2 2 4x4)]e x

d2 1(x)4 31 2 0 2

dx1ex

2

可见x

1

是所求几率最大的位置。 #

2.6 在一维势场中运动的粒子,势能对原点对称:U( x) U(x),证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

证:在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为

2d2

(x) U(x) (x) E (x) ①

2 dx2 将式中的x以( x)代换,得

2d2

( x) U( x) ( x) E ( x) ② 2

2 dx利用U( x) U(x),得

2d2

( x) U(x) ( x) E ( x) ③ 2

2 dx 比较①、③式可知, ( x)和 (x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态,因此 ( x)和 (x)之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演 (x x)而得其对方,由①经x x反演,可得③,

( x) c (x) ④

由③再经 x x反演,可得①,反演步骤与上完全相同,即是完全等价的。 (x) c ( x) ⑤

④乘 ⑤,得

(x) ( x) c2 (x) ( x) 可见,c2 1 c 1

当c 1时, ( x) (x), (x)具有偶宇称, 当c 1时, ( x) (x), (x)具有奇宇称,

当势场满足 U( x) U(x)时,粒子的定态波函数具有确定的宇称。#

2.7 一粒子在一维势阱中

U0 0, x a

U(x)

0, x a

运动,求束缚态(0 E U0)的能级所满足的方程。 解法一:粒子所满足的S-方程为

2d2

2 dx2

(x) U(x) (x) E (x) 按势能U(x)的形式分区域的具体形式为

Ⅰ:

2d2

2 dx2 1(x) U0 1(x) E 1(x)①

Ⅱ: 2d2

2 dx2

2(x) E 2(x) ②

Ⅲ: 2d2

2 dx2

3(x) U0 3(x) E 3(x)③

整理后,得

Ⅰ: 2 (U0 E)

1

2

1 0 Ⅱ:. 2 E

2

22 0 Ⅲ: 2 (U0 E)

3

2

3 0 令 k21 2 (U0 E) 2 k2

2 E2

2

则

Ⅰ: 1

k21 1 0 ⑦ Ⅱ:. 2

k22 2 0 ⑧ Ⅲ: k23

1 1 0 ⑨ ④ ⑤⑥ x a a x aa x

各方程的解为

1 Ae …… 此处隐藏：2219字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……