量子力学教程高等教育出版社周世勋课后答案详解

量子力学课后习题详解

第一章 量子理论基础

1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长 m与温度T成反比,即

; m T=b(常量)

并近似计算b的数值,准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

8 hv3

vdv 3

c

1e

hvkT

dv, (1) 1

以及 v c, (2)

vdv vd , (3)

有

dvd

c d

v( )

d

v( ) c

8 hc 5

1e

hckT

, 1

这里的 的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时, 取得极大值,因此,就得要求 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作 m。但要注意的是,还需要验证 对λ的二阶导数在 m处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的 m就是要求的,具体如下:

'

8 hc

6

e

1

hc kT

hc1 5 hc kT 1 1 e kT

0

5

hc

kT

11 e

hc kT

hc kT

0

5(1 e

如果令x=

hc

,则上述方程为 kT

)

hc

kT

5(1 e x) x

这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有

hc mT xk

把x以及三个物理常量代入到上式便知

mT 2.9 10 3m K

这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。

1.2 在0K附近,钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知

E=hv,

hP

如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(E动 ec2),那么

p2

E 2 e

如果我们考察的是相对性的光子,那么

E=pc

注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即0.51 106eV,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有

h

p

h2 eEhc2 ec2E1.24 10 6

6

2 0.51 10 3 0.71 10 9m 0.71nm

在这里,利用了

m

hc 1.24 10 6eV m

以及

ec2 0.51 106eV

最后,对

hc2 ecE

2

作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。

3

1.3 氦原子的动能是E kT(k为玻耳兹曼常数),求T=1K时,氦原子的德

2

布罗意波长。

解 根据

1k K 10 3eV,

知本题的氦原子的动能为

E

33

kT k K 1.5 10 3eV, 22

显然远远小于 核c2这样,便有

hc2 核cE

2

1.24 10 6

9

3

2 3.7 10 1.5 10 0.37 10 9m 0.37nm

这里,利用了

m

核c2 4 931 106eV 3.7 109eV

最后,再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论,由某种粒子构成的温度为T的体系,其中粒子的平均动能的数量级为kT,这样,其相庆的德布罗意波长就为

hc2 cE

2

hc2 kcT

2

据此可知,当体系的温度越低,相应的德布罗意波长就越长,这时这种粒子的波动性就越明显,特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时,粒子间的相干性就尤为明显,因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布,而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。

1.4 利用玻尔——索末菲的量子化条件,求:

(1)一维谐振子的能量;

(2)在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

已知外磁场H=10T,玻尔磁子MB 9 10 24J T 1,试计算运能的量子化间隔△E,并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。

解 玻尔——索末菲的量子化条件为

pdq nh

其中q是微观粒子的一个广义坐标,p是与之相对应的广义动量,回路积分是沿运动轨道积一圈,n是正整数。

(1)设一维谐振子的劲度常数为k,谐振子质量为μ,于是有

p212

E kx

2 2

这样,便有

p 2 (E

12kx) 2

这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动,一正一负正好表示一个来回,运动了一圈。此外,根据

1E kx2

2可解出 x

2E

k

这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样,根据玻尔——索末菲的量子化条件,有

x

x2 (E 12kx2)dx x x( )2 (E 1

kx2)dx nh

2

x

2 (E 12kx2)dx x 1

x

x2 (E kx2)dx nh

2

(E

xx21n

2kx2)dx 2h

为了积分上述方程的左边,作以下变量代换;

x

2E

k

sin 这样,便有

22 Ecos2 d 2E n

2

h ksin

2

22Ecos

2E

2

kcos d n2

h

22E

2

2

k

cos d

n

2

h

这时,令上式左边的积分为A,此外再构造一个积分

B 2 2E

2

k

sin2 d

这样,便有

A B 2 2E

d 2E 2

k

k

,

(1)

A B 2 2E

cos2 d

2

k

2

E

2

k

cos2 d(2 )

2 E

,

2

k

cos d 这里 =2θ,这样,就有

A B

E

k

dsin 0 2)

(

根据式(1)和(2),便有

A E

这样,便有

k

E

k

n

h 2

E nh

2 k

nh

其中h

k

,

h

2

最后,对此解作一点讨论。首先,注意到谐振子的能量被量子化了;其次,这量子化的能量是等间隔分布的。

(2)当电子在均匀磁场中作圆周运动时,有

2

R

q B

p qBR 这时,玻尔——索末菲的量子化条件就为

2

qBRd(R ) nh

qBR2 2 nh qBR2 nh

p2

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