2015-2016学年广东省广州市、深圳市高三(上)12月联考数学试卷(理(3)

2

∴a＜0，且x=﹣1和x=1是方程f'（x）=3ax+2bx+c=0的两个根， 即﹣1+1=

，

，

解得b=0，c=﹣3a．

3232

∴f（x）=ax+bx+cx=ax﹣3ax=ax（x﹣3），

22

则方程3a（f（x））+2bf（x）+c=0等价为3a（f（x））﹣3a=0，

2

即（f（x））=1，即f（x）=±1．

2

要使方程3a（f（x））+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1．各有3个不同的根，

3232

∵f（x）=ax+bx+cx=ax﹣3ax=ax（x﹣3），

22

∴f'（x）=3ax﹣3a=3a（x﹣1）， ∵a＜0，

∴当f'（x）＞0得﹣1＜x＜1，此时函数单调递增， 当f'（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此时函数单调递减， ∴当x=1时，函数取得极大值f（1）=﹣2a， 当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=2a，

2

∴要使使方程3a（f（x））+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1各有3个不同的根， 此时满足f极小（﹣1）＜1＜f极大（1），f极小（﹣1）＜﹣1＜f极大（1）， 即2a＜1＜﹣2a，且2a＜﹣1＜﹣2a，

即，且，

解得即a故答案为：a

且a

．

，

【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．利用导数研究函数的极值是解决本题的突破点．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（共5大题，每题12分）

17．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=70，且a1，a2，a6成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式；

n

（2）设bn=2 an，求数列{bn}的前n项和Tn． 【考点】数列的求和．

【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出数列的首项与公差，然后求数列{an}的通项公式；

n

（2）化简bn=2 an，利用错位相减法，直接求数列{bn}的前n项和Tn． 【解答】解：（1）设公差为d（d≠0），由S7=70，且a1，a2，a6

成等比数列得，

（d≠0）

解得a1=1，d=3，∴an=3n﹣2…．（6分） （2）由（1）

，

∴

相减得，

=

=（5﹣3n） 2∴

n+1

﹣10

…（12分）

【点评】本题考查干错事了的通项公式的求法，错位相减法的应用，考查数列求和方法的应用，基本知识与基本方法的考查．

18．某商场根据市场调研，决定从3种服装商品、2种家电商品和4种日用商品中选出3种商品进行促销活动．

（Ⅰ）求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；

（Ⅱ）被选中的促销商品在现价的基础上提高60元进行销售，同时提供3次抽奖的机会，第一次和第二次中奖均可获得奖金40元，第三次中奖可获得奖金30元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，顾客所得奖金总数为X元，求随机变量X的分布列和数学期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差． 【专题】概率与统计． 【分析】（I）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，利用间接法能求出选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率．

（Ⅱ）设顾客抽奖的中奖奖金总额为X，则X的可能取值为0，40，80，70，110分别求出P（X=0），P（X=30），P（X=40），P（X=80），P（X=70）P（X=110），由此能求出顾客中奖次数的数学期望EX．

【解答】解：（I）从3种服装商品、2种家电商品，4种日用商品中，选出3种商品，一共有同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有

种．

种不

所以选出的3种商品至少有一种日用商品的概率为P=1﹣（Ⅱ）X可能取得值为0，30，40，70，80，110 P（X=0）=P（X=30）=P（X=40）=P（X=70）=P（X=80）=P（X=110）=

．

EX=

【点评】本题主要考查超几何分布的应用和随机变量的分布列期望，属中档题型，高考常考题型．

19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E是PC的中点． （1）求证：侧面PAC⊥平面PBC； （2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且

，求二面角C﹣AB﹣E的大小．

【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法． 【专题】空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（1）利用线面垂直的性质可得PB⊥AC，利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出BC的长度，进而利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角． 【解答】（1）证明：∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC； ∵∠BCA=90°，∴AC⊥BC；

又∵PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC； 又∵AC 平面PAC，∴面PAC⊥面PBC

（2）以C为原点，CA、CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设BC=m＞0， 则C（0，0，0），A（2，0，0），E（0，，1），B（0，m，0），P（0，m，2）． ∴由

，得

，

，由

，

=

． =

，

∴，解得m=．

则，．

设平面ABE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，则y=，z=1，

∴=（1，，1）．

取平面ABC的一个法向量=（0，0，1）， ∴

=

=

=．∴

．

∴二面角C﹣AB﹣E的大小为60°．

【点评】本题综合考查了通过建立空间直角坐标系求异面直线的夹角、二面角，线面、面面垂直的判定与性质定理，需要较强的推理能力、计算能力和空间想象能力．

20．已知椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的动点，△PF1F2的面积最大值为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3x﹣4y+5=0相切． （1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l过定点（1，0）且与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点，直线AM与直线BM分别与y轴交于P，Q两点，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）利用直线与圆相切以及三角形的面积列出方程组求出b，c，a．即可解得椭圆C的方程．

（2）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点．当直线l斜率不存在时，直接求出定点坐标．当直线l斜率存在时，设y=k（x﹣1），（k≠0）．联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过直线AM的方程，直线BM的方程，转化已知条件为量积求解定点坐标．

【解答】解：（1）由题意椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的动点，

△PF1F2的面积最大值为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3x﹣4y+5=0相切．

恒成立．然后利用数

可得，解得b=1，c=，a=2．

所以椭圆C的方程是． …（4分）

（2）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点． 当直线l斜率不存在时

以线段PQ为直径的圆的方程为：x+y=3，恒过定点当直线l斜率存在时 设y=k（x﹣1），（k≠0）．

2

2

2

2

2

2

．…（5分）

由得（1+4k）x﹣8kx+4k﹣4=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=

．…（7分）

又因为点M是椭圆C的右顶点，所以点M（2，0）． 由题意可知直线AM的 …… 此处隐藏：2675字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……