数字信号处理实验 matlab版 离散傅里叶变换的性质

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实验13 离散傅里叶变换的性质

(完美格式版，本人自己完成，所有语句正确，不排除极个别错误，特别适用于山大，勿用冰点等工具下载，否则下载之后的word格式会让很多部分格式错误，谢谢)

XXXX学号姓名处XXXX

一、实验目的

1 加深对离散傅里叶变换(DFT)基本性质的理解。 2 了解有限长序列傅里叶变换(DFT)性质的研究方法。

3 掌握用MATLAB语言进行离散傅里叶变换性质分析时程序编写的方法。

二、实验内容

1 线性性质。 2 循环移位性质。 3 循环折叠性质。

4 时域和频域循环卷积特性。 5 循环对称性。

三、实验环境

MATLAB7.0

四、实验原理

1 线性性质

如果两个有限长序列分别为x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2，且

y(n)＝ax1(n)＋bx2(n) (a、b均为常数)

则该y(n)的N点DFT为

Y(k)＝DFT［y(n)］＝aX1(k)＋bX2(k) 0≤k≤N－1

其中：N＝max［N1，N2］，X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。

例13-1 已知x1(n)＝［0，1，2，4］，x2(n)＝［1，0，1，0，1］，求： (1)y(n)＝2x1(n)＋3x2(n)，再由y(n)的N点DFT获得Y(k)；

(2)由x1(n)、x2(n)求X1(k)、X2(k)，再求Y(k)＝2X1(k)＋3X2(k)。

用图形分别表示以上结果，将两种方法求得的Y(k)进行比较，由此验证有限长序列傅里叶变换(DFT)的线性性质。

解 MATLAB程序如下：

>> xn1=[0,1,2,4]; %建立xn1序列 >> xn2=[1,0,1,0,1]; %建立xn2序列 >> N1=length(xn1);N2=length(xn2); >> N=max(N1,N2); %确定N

>> if N1>N2 xn2=[xn2,zeros(1,N1-N2)]; %对长度短的序列补0 >> elseif N2>N1 xn1=[xn1,zeros(1,N2-N1)]; >> end

>> yn=2*xn1+3*xn2; %计算yn >> n=0:N-1;k=0:N-1;

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>> Yk1=yn*(exp(-j*2*pi/N)).^(n'*k); %求yn的N点DFT >> Xk1=xn1*(exp(-j*2*pi/N)).^(n'*k); %求xn1的N点DFT >> Xk2=xn2*(exp(-j*2*pi/N)).^(n'*k); %求xn2的N点DFT >> Yk2=2*Xk1+3*Xk2; %由Xk1、Xk2求Yk >> subplot(4,2,1),stem(n,xn1); >> title('x1(n)');

>> subplot(3,2,2),stem(n,Xk1); >> title('X1(k)');

>> subplot(4,2,3),stem(n,xn2); >> title('x2(n)');

>> subplot(3,2,4),stem(n,Xk2); >> title('X1(k)');

>> subplot(4,2,5),stem(n,yn); >> title('yn');

>> subplot(3,2,6),stem(n,Yk2); >> title('2*Xk1+3*Xk2');

>> subplot(4,2,7),stem(n,Yk1); >> title('DFT[y(n)]'); 求得的Y(k)，如下所示： Yk＝

23.0000 －7.5902＋1.5388i 3.5902－0.3633i 3.5902＋0.3633i －7.5902－1.5388i 运行结果如图13-1所示。

图13-1 例13-1有限长序列的傅里叶变换的线性性质

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2 循环移位性质

如果有限长序列为x(n)，长度为N，将x(n)左移m位，则y(n)＝x((n＋m)N)RN(n) x(n)左移m位的过程可由以下步骤获得：

(1)将x(n)以N为周期进行周期延拓，得到x(n)＝x((n)N)；

~~

(2)将x(n)左移m位，得到x(n m)；

x(n m)的主值序列，得到x(n)循环移位序列y(n)。 (3)取~

有限长序列的移位也称为循环移位，原因是将x(n)左移m位时，移出的m位又依次从

右端进入主值区。下面举例说明。

例13-2 已知有限长序列x(n)＝［1，2，3，4，5，6］，求x(n)左移2位成为新的向量y(n)，并画出循环移位的中间过程。 解 MATLAB程序如下：

>> xn=[1,2,3,4,5,6]; %建立xn序列 >> Nx=length(xn);nx=0:Nx-1; >> nx1=-Nx:2*Nx-1; %设立周期延拓的范围 >> x1=xn(mod(nx1,Nx)+1); %建立周期延拓序列 >> ny1=nx1-2;y1=x1; %将x1左移2位,得到y1 >> RN=(nx1>=0)&(nx1<Nx); %在x1的位置向量nx1上设置主值窗 >> RN1=(ny1>=0)&(ny1<Nx); %在y1的位置向量ny1上设置主值窗 >> subplot(4,1,1),stem(nx1,RN.*x1); %画出x1的主值部分 >> subplot(4,1,2),stem(nx1,x1); %画出x1 >> subplot(4,1,3),stem(ny1,y1); %画出y1 >> subplot(4,1,4),stem(ny1,RN1.*y1); %画出y1的主值部分 运行结果如图13-2所示。

-6

-8-6

-4

-2

2

4

6

8

10

-4

-2

2

4

6

8

10

12

~

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图13-2 例13-2有限长序列的循环移位

3 循环折叠性质

如果要把有限长N点序列x(n)直接进行折叠，则x的下标(－n)将不在0≤n≤N－1区域内。但根据有限长序列傅里叶变换隐含的周期性，可以对变量(－n)进行N求余运算。即在MATLAB中，序列x(n)的折叠可以由y＝x(mod(－nx，N)＋1)得到。

有限长N点序列x(n)的循环折叠序列y(n)定义为

n＝0 x(0)

y(n)＝x((－n)N)

x(N－n)1 n N－1

可以想像成，序列x(n)以反时针方向等间隔放置在一个圆周上，则x(－n)是将x(n)沿着

圆周顺时针方向等间隔放置。

循环折叠性质同样适用于频域。经循环折叠后，序列的DFT由下式给出：

Y(k) DFT[x(( n)N)]

X(0)

X (( k)N)

X(N－k)

k＝0

1 k N－1

就是说，在时域循环折叠后的函数，其对应的DFT在频域也作循环折叠，并取X(k)的共轭。

例13-3 求x(n)＝［1，2，3，4，5，6，7］，循环长度分别取N＝7，N＝10。 (1)画出x(n)的图形； (2)画出x(－n)的图形。 解 MATLAB程序如下：

>> x1=[1,2,3,4,5,6,7]; %建立x(n),N=7序列 >> N1=length(x1);n1=0:N1-1; >> y1=x1(mod(-n1,N1)+1); %建立x(-n),N=7序列 >> N2=10;

>> x2=[x1,zeros(1,N2-N1)]; %建立x(n),N=10序列 >> n2=0:N2-1;

>> y2=x2(mod(-n2,N2)+1); %建立x(-n),N=10序列 >> subplot(2,2,1),stem(n1,x1,'k'); %画x(n),N=7 >> title('x(n),N=7');

>> subplot(2,2,3),stem(n1,y1,'k'); %画x(-n),N =7 >> title('x(-n),N=7');

>> subplot(2,2,2),stem(n2,x2,'k');% 画x(n),N=10 >> title('x(n),N=10');

>> subplot(2,2,4),stem(n2,y2,'k'); %画x(-n),N =10 >> title('x(-n),N=10'); 运行结果如图13-3所示。

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