计算方法课后习题答案(3)

1

x

dx e e, y, 1

1

1 1

xedx 2e

x 1

2a0 e e 1 1 1

e e3e e3

a ,a y x 201 1

a 2e2e2e1 3

。

13.f x x,在 1,1 上求关于 span 1,x2,x4 的最佳平方逼近多项式。

解：Legendre是[-1，1]上的正交多项式 取p(x) 1,p2(x)

(pk(x),pk(x))

22k 1

12

(3x 1),p4(x)

2

18

(35x 30x 3)

42

(k 0,2,4)

(f,p0(x))

(f,p2(x)) (f,p4(x))

12

0 1

( x)dx

1218

2

1

xdx 1

10

0 10 1

x (3x 1)dx

4

2

12

x (3x 1)dx

2

14

2

(35x 30x 3)xdx 12

52

58

10

18

(35x 30x 3)xdx

92

316

4

124

a0 (f,p0(x))

*

,a2 (f,p2(x))

，a4

(f,p4(x))

4

2

所以p4(x) a0p0(x) a2p2(x) a4p4(x)= 0.8203125x 1.640625x 0.2578125

16.求f x lnx在 1,2 上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平方误差。

计算方法课后答案

解：设 x p

*n

1 22

2

2 12

t

32

12

t,则f

x lnx ln

3 2

1

t t ,t 1,1 2

t CkTk t ,

k 0

C0

1

2

T0,f

1

2

1 31 ln t

1

2

31

ln cos 22

d 1.15519

d 1.520575

C1

T1,f

1 31 xln t

31

cos ln cos

22

C2

2

*

T2,f

2

1

2t

2

31 1 ln t

2

2

31

cos2 ln cos

22

2

d 0.46204

所以p3 t -1.15519+1.520575x 0.46204 2x-1 0.92408x 1.520575x 0.69315 31

其误差为ln

22

*

t p3 t

0.00002055

第三章习题答案

1. 分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes

公式计算积分I 解：1）用梯形公式有：

1

,并估计误差。

E

T

1

1 0.52

3

[f 1 f

0.5 ]

1 1 0.42678 4 2

f

b a

12

333

0.5 1 2 3 32

f 2.6042 10 7.3657 10

12 4

事实上， fI E

x

1 0.52

T

I

10.5

0.4309644

f 0.5 f 1 0.4267767

1

0.5

f

1 0.52

f 0.5 f 1 0.0041877

2）Simpson公式

计算方法课后答案

1

1 0.5 6 f

1 4f 3 4 f 1

1 2 12 1 2 0.43093 1

4

E

S

f b a b a 4 1 1

1

4 180 2 f 180

15 2

72 1.18377 10 4

8

E

T

(f)=

-(

b-a

)

3

12

f''(h)

48

事实上，E

S

f 1

1 0.5 6 f 0.5 4f 0.5 1

f 2 1 0.0000304

3）由Cotes公式有：

1

1

1

90

7f 0.5 32f 5 12f 3

8 32f 7

4 7f1 8

1180

4.94975 25.29822 10.39230 29.93326 7 0.43096

1180

+++7)

6

2 1 1 E

C

f

945 945 11 64 2

2.6974 10 6

4

EC

(f)=

-2(

b-a

)

7

945*4

f

(6)

(h)

8

事实上，E

C

f 0.0000003

3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分. (1)

1

x

04 x

2

dx,n 8

解：（1）用复化梯形公式有：

h

b a1 01n

8

8

，

计算方法课后答案

Tn 116

h 1 2

fa 2f f 2 8 8

3 4

f f 8 8 5 6

f f 8 8

7

f f1 8

0 2 (0.031128 0.061538 0.090566 0.11765 0.14235 0.16438 0.18361) 0.2 0.1114

由复化Simpson公式有：

1 1 1 2 3 3 5 7

S8 f 0 2 (f f f ) f 1 4 f f f f

64 4 4 4 8 8 8 8

1 124

0 2 0.061538 0.11765 0.16438 4 0.031128 0.090566 0.41235 0.18351 0.2

0.11157

5．给定积分I

20

sinxdx。

1

3

（1） 利用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过 10;

2

（2） 取同样的求积节点，改用复化Simpson公式计算时，截断误差是多少？ （3） 如果要求截断误差不超过10 6，那么使用复化Simpson公式计算时，应将积分

区间分成多少等分？

解：(1)

E(f)

nT

(b a)12n

2

3

f( )

''

32

96n

f( )

32

3

''

f x =sinx,f(x) cosx,f(x) sinx E(f)

'

''nT

96n

sin

, 0, 2 96n 2

当误差ETn(f) 0.5 10 3时，n 25.6, 所以取n=26。

25h

则:h= Tn [f(0) f() 2 f(x)]

k5222k 1

1 2 3 25

{0 1 2[sin() sin() sin() ... sin()]} 0.9465 25252525252

b-ah4'''' (1 )4sin( ) [f] ()f( ) （2）ESn180218022n

(1 )4(n 26) (1 )4 7 10 9 则ES[f] n18022n18022n

(1 )4 10 6 (3)ES[f] n18022n

计算方法课后答案

则n 7.6 n=8

7．推导下列三种矩形求积公式：

1 a

b

f

x dx b a f a

f 2

b a

2

;;

3

2 f x dx b a f b

a

b

f 2

b a

2

;

3 f

a

b

a b

x dx b a f

2

f

24

b a

证明：(1)将f(x)在x a处Taylor展开，得

f(x)

f(a )