计算方法课后习题答案(2)

k

k

插值多项式P x 。并给出插值余项。 解：令

H2 x f

x f x0 x x0 0

3

f x0 2

x x 0

2

H3 x H2 x c x x0

利用插值条件H3 x1 f x1 定出 ： c

f x1 H2 x

x x0

3

注意到这里x0是三重零点，x1是单零点，故插值余项为

f

4

f x H3 x

4!

x x0 x x 1

3

计算方法课后答案

20．求作次数 4的多项式P x ，使满足条件

P 0 1,P 1 0,

P 0 2,P 1 10,P 1 40

并列出插值余项。

解法1：由于在x 0处有直到一阶导数值的插值条件，所以它是“二重节点”；而在

x 1处有直到二阶导数值的插值条件所以x 1是“三重节点”。因此利用重节点的差商公

式：

,＝ f x,x,..x.

x

k＋1

lim

,x1,..kx., 1

f

x

x0

x1,

f

x,k. .1.x, k

x

k!

可以作出差商表

2

P x f

x x 0 f x,x,x0 x1 x 0 x0 f x0,x 0 0

222

f x0,x0,x1,x1 x x0 (x x1) f x0,x0,x1,x1,x1 x x0 (x x1)

2

1 2x 3x P x

6x(x 1) 5x

22

(x 1),

2

且插值余项为

f x P x

15!f

5

x2 x 1

3

第二章答案

1.

计算下列函数f x 关于C 0,1 的f

,f

,f

2

：

注：f

maxf

a x b

x ,

3

f

1

ba

f x ，f

2

ba

f

2

x dx

12

1 f x x 1

2 f x x

x

m

12

n

,m与n为正整数

3 f x x 1

10

4 f x x 1

e

x

计算方法课后答案

解：（1）f x x 1

f x

f

3

3

maf x ma x 1

10

1

1

10

f(x)dx

1

10

(1 x)dx

3

17

7

f

2

f(x)dx

2

2

10

(x 1)dx

6

12

（2）f x x

12

f

x

maxf

x

12

maxx

12

12

f

10

(x

12

1

)

1

20

( x)dx

1(x

2

1

1

12

)dx

14

f

2

2

12 2 b 2 1

[f(x)]dx (x )dx

26 a 0

3.. i x

i 0

是区间 0,1 上带权 x x的最高次项系数为1的正交多项式族，其中

1

0 x 1，求 x 3 x dx和 1 x 。

解法一： x 3(x)dx (x) 3(x) 0(x)dx

11

i(x) i 0是区间[0,1]上带权 (x) x的最高次项系数为1的正交多项式 (x) 3(x) 0(x)dx 0，即 x 3(x)dx 0

1

1

由于 0(x) 1 1(x) x

(x, 0(x))( 0(x), 0(x))

0

(x) x

10

xdx

x xdx

2

23

10

解法二：设 1 x x c，则由

10

x x c dx

13

c2

0 c

23

4.求a,b，使积分 2 ax b sinx dx取得最小值。 解：题意即为在 span 1,x 中求f

2

x sinx的最佳平方逼近多项式

计算方法课后答案

P1 x a0 a1x，故a0,a1满足法方程

( 0(x), 0(x))a0 ( 0(x), 1(x))a1 (y, 0(x))

( 1(x), 0(x))a0 ( 1(x), 1(x))a1 (y, 1(x))

2

a1 1 a0

28

积分可得: 23

a a 1

01

24 8

8 24

a b 02

a 0.6644389,b 0.1147707.

96 24 a a

13

或者按下述方法：

因为 2 ax b sinx dx

2

1

244上式分别对a,b求偏导，并令其为零，有

a 121 a b4

1a

23

a

23

ab

2

2a

2

b

2

4

2b

b4

2

2 0

b 2 096 24

8 24

从而也有

a

3

，b a,b ，定义

2

5.对f x ,g x C

1

1 f,g

bab

f x g x dx

f x g x dx f a g a

2 f,g a

问它们是否构成内积？

（1）

显然有 f,g = g,f , cf,g =c f,g ,c是常数（f1 f2,g) (f1,g) (f2,g)

但不满足“当且仅当f=0时（f,f)=0,(f,f) 0"

2

这是因为（f,f)= (f (x))dx 0

ab

推出f x 0,即f为常数，但不一定为0，故（1）不构成内积。

（2）显然内积公理的1），2），3）均满足，考察第四条

计算方法课后答案

(f,f)

ba

f(x) dx f

'

2

2

a

若f x 0，则必有 f,f 0反之，若 f,f 0，则f x 0且f2 a 0，由此可推得f x 0, 即内积公理第四条满足，故（2）构成内积。

8.判断函数1,x,x2

13

在 1,1 上两两正交，并求一个三次多项式，使其在 1,1 上与

上述函数两两正交。 解：

（1） 1,x 1xdx

1 2

x,x

3

1

1

0， 1,x2

1 3 21

x dx 0， 1

3

1

21

xx dx 0 1

3

23

， 1,1 11dx

1

1

2

2

x,x x

1

1

2

dx 13

，

2121 x ,x

33 8 21

x dx 1

3 45

2

所以，1,x,x

在

1,1 上两两正交。

（2）设所求多项式为 3 x

3 x x

3

x

3

, 0

0, 0

1

x x

1

4

3

, 1

1, 1

x x

1

3

, 2

2, 2

x

2

1 3 2

xx dx xdxxdx 133 21 331

x 11 x x x x 12

2351 1 2

1dx 1xdxx dx 1

3

1

3

2. 用最小二乘法求一个形如y a bx的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估

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