计算方法课后习题答案

计算方法课后答案

习 题 一

3.

已知函数y

x 4,x 6.25,x 9处的函数值，试通过一个二次插值函

数求的近似值，并估计其误差。

解：由题意y

：x0 4,x1 6.25,x2 9;y0 2,y1 2.5,y2 3

2

（1） 采用Lagrange

插值多项式y

y

L2(x)|x 7(x x1)(x x2)(x0 x1)(x0 x2)(7 6.25)(7 9)

2.25 5

y0 2

L2(x)

lj(x)yj

j 0

(x x0)(x x2)(x1 x0)(x1 x2)(7 4)(7 9) 2.25 2.75

y1

(x x0)(x x1)(x2 x0)(x2 x1)(7 4)(7 6.25)

2.75 5

y2

2.5 3

2.6484848

其误差为

R2(7) 又f

(3)

f

(3)

( )

3!38x

(7 4)(7 6.25)(7 9)

52

(x)

则max|f

[4,9]

(3)

(x)|

38

4

52

0.01172

|R2(7)|

16

(4.5)(0.01172) 0.00879

（2）采用Newton

插值多项式y

N2(x)

N2(7) 2 2

(7 4) ( 4

495

) (7 4) (7 6.25) 2.6484848

4. 设f x xk k 0,1,...,n ，试列出f x 关于互异节点xi i 0,1,...,n 的

Lagrange插值多项式。

计算方法课后答案

注意到：若n 1个节点xi i 0,1,...,n 互异，则对任意次数 n的多项式f x ，它关于节点xi i 0,1,...,n 满足条件P xi yi,i 0,1,...,n的插值多项式P x 就是它本身。可见，当k n时幂函数f(x) xk(k 0,1,...,n)关于n 1个节点xi i 0,1,...,n 的插值多项式就是它本身，故依Lagrange公式有

n

n

n

j 0

xlj x

k

j

j 0

(

i 0i j

x xixj xi

)xj x,k 0,1,...,n

kk

特别地，当k 0时，有

n

n

n

j 0

lj x

j 0i 0

i j

x xixj xi

1

而当k 1时有

n

j 0

n

x xi

xjlj x j 0 i 0xj xi

i j

n

x x j

5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。

解：

（1） Lagrange 插值多项式

3

3

L3(x)

j 0

lj(x)yj lj(x)

x xixj xi

x 20 2x 21 2x 12 1

i 0,i j

l0(x)

x x1x0 x1x x0x1 x0x x0x2 x0

x x2x0 x2x x2x1 x2x x1x2 x1

x x3x0 x3x x3x1 x3x x3x2 x3

x 10 1x 01 0

x 40 4x 41 4x 42 4

=

x 7x 14x 8

8

3

2

32

l1(x)

=

x 6x 8x

3

3

2

l2(x)

x 02 0

=

x 5x 4x

4

计算方法课后答案

l3(x)

x x0x3 x0

x x1x3 x1

x x2x3 x2

x 04 0

x 14 1

x 24 2

=

x 3x 2x

24

32

L3 x

x 1 x 2 x 4 x 0 x 2 x 4

1 9

0 1 0 2 0 4 1 0 1 2 1 4

18

x x 3x 2

2

x 0 x 1 x 4 x 0 x 1 x 2

23 3

2 0 2 1 2 4 4 0 4 1 4 2

184

x 3x 2 x 4 3x x 6x 8

2

2

234

x x 5x 4

2

11

x

3

454

x

2

12

x 1

（2） Newton 插值多项式

N3(x) f(x0) f(x0,x1)(x x0) f(x0,x1,x2)(x x0)(x x1)

f(x0,x1,x2,x3)(x x0)(x x1)(x x2)

1 8(x 0) 3(x 0)(x 1) (x 0)(x 1)(x 2)

4

114x

3

454

x

2

12

x 1

由求解结果可知：L3(x) N3(x) 说明插值问题的解存在且唯一。

7. 设f x x4，试利用Lagrange余项定理给出f x 以 1,0,1,2为节点的插值多

项式L3 x 。

解：由Lagrange余项定理 Rn(x) f(x) Ln(x)

f

(n 1)

( )

(n 1)!

n 1(x) [a,b

(4)

]

可知：当n 3时，f

(n 1)

( ) f(x)

x

4!

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L3(x) f(x)

4!(3 1)!

(x x0)(x x1)(x x2)(x x3)

x (x 1)(x 0)(x 1)(x 2)

4

2x x 2x

32

8.设f(x) C2 a,b 且f(a) f(b) 0，求证 mafx( )

a x 18

b (a

2

)

a

afx

xb

x()

证明：以a,b为节点进行线性插值，得 L1(x)

x ba b

f(a )

x b

aaf( b)

由于f(a) f(b) 0,故L1(x) 0。于是由

f(x) L1(x)

f''( )2

f( )2!

''

(x a)(x b), a b

有f(x) (x a)(x b)，

令t(x) (x a)(x b) x [a,b]

t (x) 2x

(a

b )

x a b 时t

2

x(有)极大值

max

a x b

f(x)=

121218

maxf (x) max(x a)(x b)

a x b

a x b

maxf (x) (

a x b

a b2

a)(

a b2

b)

=

2

(b a)maxf (x)

a x b

13．设节点xi i 0,1, ,n 与点a互异，试对f x

k

1a x

证明

f x0,x1, ,xk

i 0

1a xi

,k 0,1, ,n

并给出f x 的Newton插值多项式。

解 依差商的定义

计算方法课后答案

f(x0)

1a x0

，

f(x0,x1)

f(x1) f(x0)

x1 x0

1

x1 x0a x1

(

1

1a x0

)

1

(a x1)(a x0)

一般地，设

f(x0,x1, ,xk)

1

k

k

i

(a x)

i 0

(a x)

i 0

i

1

则

f(x0,x1, ,xk ) 1

f(x1,x2, ,xk ) f(x,0x, 1 ,xk)1

xk 1 x0

1xk 1 x0

k

k 1

(

i 1

1a xi1

k

i 0

1a xi

)

i 1k 1

1

a xixk 1

1a xi

11

x0 a xk 1a x0

1a x

i 0

故f x

的Newton插值多项式为

Nn(x) f(x0) f(x0,x1)(x x0) f(x0,x1, ,xn)(x x0)(x x1) (x xn 1)

1a x0

n

x x0

(a x0)(a x1)

k 1

(x x0)(x x1) (x xn 1)(a x0)(a x1) (a xn)

1

k 0 a xk

i 0

x xi

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