《力学》杜婵英 漆安慎课后习题答案大全集(4)

lsinθ=gt2

测中2

1,t1=2lsin/g

者点

命中点x坐标为：x1=vt1=v2lsinθ/g，由图中几何关系，观测者的x坐标：x2=lcosθ。所以，观测者与命中点间的距离：

D=|x2 x1|=|lcosθ vlsinθ/g|

当x1<x2，即 v2lsinθ/g<lcosθ,v<lcosθg

2lsinθ

时，

则抛体在未达到观察员前即命中目标。

当x1>x2，即 v>lcosθ

g

2lsinθ

时，则抛体在飞越观察员后

才命中目标。

2.6.1列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时

间范围内，其运动学方程为S=80t-t2（m,s）

，t=0时，列车在图中O点，此圆弧形轨道的半径r=1500m，求列车驶过O点以后前进至1200m处的速率及加速度。

解：S=80t-t2 ① v=dS/dt=80-2t ②

令S=1200，由①可求得对应时间： t2 80t+1200=0,求得t=60s,20s 将t=60代入②中，v=-40，不合题意，舍去；将t=20代入②中，v=40m/s，此即列车前进到1200m处的速率。

aτ=dv/dt= 2m/s2,an=v2/r=402/1500=1.067m/s2a=a2

2

τ+an=( 2)2+1.0672=2.267m/s2aK与vK

所成夹角：α=arctgan1.067a=arctg(

≈152°τ 2

2.6.2 火车以200米/小时的速度驶入圆形轨道，其半径为300米。司机一进入圆弧形轨道立即减速，减速度为2g。求火车在何处的加速度最大？最大加速度是多少？

解：沿火车运动的圆形轨道建立弧坐标o-s，t=0时，s=0,v=v0=200km/h=55.56m/s。据题意aτ= -2g，v=v0+aτt=v0 -2g t，an=v2/R=(v0 –2gt)2/R。∴a=(aτ2+an2)1/2=[4g2+(v0 –2gt)4/R2]1/2，显然，t=0时，a最大， amax=

4g2+v4

0/R2=22.1m/s2

2.6.3斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道上运动，当斗车达到图中所示位置时，轨道曲率半径为150m，斗车速率为50km/h，切向加速度aτ=0.4g，求斗车的加速度。

解：aτ=0.4g=0.4×9.8=3.92m/s2

av2/ρ=(50×103

2

n=/150=1.286ms 23600

aK

=a +aττ

nn =3.92τ +1.286n

a=a22

τ+an=3.922+1.2862=4.126m/s2 加速度aG

与切向单位矢量τ

夹角：

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θ=arctg

an.286aτ

=arctg13.92=18.16°

2.8.1 飞机在某高度的水平面上飞行，机身的方向是自东北向西南，与正西夹15º角，风以100km/h的速率自西南向东北方向吹来，与正南夹45º角，结果飞机向正西方向运动，求飞机相对于风的速度及相对于地面的速度。

解：vKKK

机地=v机风+v风地，由矢量图

可知，

v

机地sin30°=v机风sin135°=v

风地sin15°，其中，v风地=100km/h=27.78m/s，∴可求得：

vsin135°

机风=

sin15°vsin30°风地≈75.89m/s,v机地=sin15°

v风地≈53.67m/s

2.8.3 一卡车在平直路面上以恒速度30米/秒行驶，在此车上射

出一个抛体，要求在车前进60米时，抛体仍落回到车上原抛出点，问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向，空气阻力不计。

解：以卡车为参考系，设抛体初速为v0，由于要落回原抛出点，故方向只能竖直向上，即抛体相对车只能作竖直上抛运动。

取向上方向为正，抛体相对车任意时刻速度 v = v0 - g t ⑴ 由题意，抛体落回原地所需时间 t = 60/30 = 2(s)，落到车上时的速度 v = - v0 ，把数值代入⑴中，可求得 v0 = 9.8 m/s.

2.8.4 河的两岸互相平行，一船由A点朝与岸垂直的方向匀速驶去，经10min到达对岸C点。若船从A点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达彼岸的B点，需要12.5min。已知BC=120m. 求：

⑴河宽L；⑵第二次渡河时船的速度uK

；⑶水流速度v.

解：以船为运动质点，水为动系，岸为静系，由相对运动公式

vKKKK=vK,vKKK

K船岸=v船水+v水岸，在这里，v水岸船水=u,令v则上式可改写为：ωK船岸=ω

=uK+v

K

第一次渡河矢量图 第二次渡河矢量图

由第一次渡河矢量图可知：v=BC/t1=120/600=0.2m/s, ⑴ u = L / t1 ⑵, L = u t1 ⑶. 由第二次渡河矢量图可知：

ω2 = L / t2 ⑷， cosα= ω2/ u ⑸, v = u sinα ⑹. 把⑵、⑷代入⑸，求得 cosα=t1/t2=600/750=4/5, sinα=(1-cos2α)1/2=3/5 ⑺

把⑴、⑺代入⑹，求得 u = 0.2×5/3 = 1/3 (m/s). 再把u的数值代入⑶，求得L = 600/3 = 200(m).

答：河宽200米，水流速度0.2米/秒；第二次渡河时，船对水的速度是1/3米，与河岸垂直方向所成角度α=arccos(4/5)=36º52’.

2.8.5圆形公路与沿半径方向的东西向公路相交如图，某瞬时汽车甲向东以20km/h的速率行驶，汽车乙在θ=30°的位置向东北方向以速率20km/h行驶，求此瞬时甲车相对乙车的速度。

解：由相对运动公式：vKK1=v12+vK

2，

vKvKK12=1 v2，显然矢量三角形为等边三角形，

所以，v12=20km/h，方向向东偏南60°

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第三章基本知识小结

⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。

矢量式：F =ma

=mdv d2r dt=mdt

2

Fx=max,Fy=may,Fz=maz（直角坐标）

分量式：

2

Fτ=maττ=m

dv,Fmav

dtn=n=mρ

⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。

导数形式：F =d p

dt

微分形式：F dt=d

p

积分形式：I

(=

∫

F dt)=Δ

p （注意分量式的运用）

⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。

若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质 点系的动量保持不变。即

若∑F

外=0，则

p=恒矢量。

（注意分量式的运用）

⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。

在直线加速参考系中： f*= ma 0

在转动参考系中： f*

ω2r c=m,

f*'×ω

k=2mv ⒌质心和质心运动定理 ⑴mr

c=

∑m

irmv

ic=∑mivi

ma =∑m ciai

⑵∑F =ma c

（注意分量式的运用）

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3.5.1 质量为2kg的质点的运动学方程为

r =(6t2 1)i +(3t2+3t+1) j（单位：米，秒）

， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。

解：∵a =d2r /dt2=12i +6 j, F =ma =24i +12 j 为一

与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。

F=(242+122)1/2=125N，力与x轴之间夹角为：

α=arctgFy/Fx=arctg0.5=26°34'

3.5.2 质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程

为：r =acosωti +bsinωt j，a,b,ω为正常数，证明作用于质点

的合力总指向原点。

证明：∵a =d2r /dt2= ω2(acosωti +bsinωt j)= ω2r

F =ma = mω2r