数值分析第二章答案(2)

j 0(xj x0) (xj xj 1)(xj xj 1) (xj xn)

n

f x0, ,xn g x0, ,xn

得证。

01701874

14．f(x) x x 3x 1,求F 2,2, ,2 及F 2,2, ,2 。

解： f(x) x x 3x 1 若xi 2,i 0,1, ,8

i

74

f(n)( )

则f x0,x1, ,xn

n!f(7)( )7!

f x0,x1, ,x7 1

7!7!f(8)( )

f x0,x1, ,x8 0

8!

15．证明两点三次埃尔米特插值余项是 R3(x) f解：

若x [xk,xk 1]，且插值多项式满足条件

(4)

()( x

k

x2) (x

k 1

x

2

) / 4!,

k

x ( ,k1x

)

(xk) f (xk) H3(xk) f(xk),H3

(xk 1) f (xk 1) H3(xk 1) f(xk 1),H3

插值余项为R(x) f(x) H3(x) 由插值条件可知R(xk) R(xk 1) 0 且R (xk) R (xk 1) 0

R(x)可写成R(x) g(x)(x xk)2(x xk 1)2

其中g(x)是关于x的待定函数，

现把x看成[xk,xk 1]上的一个固定点，作函数

(t) f(t) H3(t) g(x)(t xk)2(t xk 1)2

根据余项性质，有

(xk) 0, (xk 1) 0

(x) f(x) H3(x) g(x)(x xk)2(x xk 1)2

f(x) H3(x) R(x) 0

(t) g(x)[2(t xk)(t xk 1)2 2(t xk 1)(t xk)2] (t) f (t) H3

(xk) 0

(xk 1) 0

由罗尔定理可知，存在 (xk,x)和 (x,xk 1)，使

( 1) 0, ( 2) 0

即 (x)在[xk,xk 1]上有四个互异零点。

根据罗尔定理， (t)在 (t)的两个零点间至少有一个零点， 故 (t)在(xk,xk 1)内至少有三个互异零点， 依此类推，

(4)

(t)在(xk,xk 1)内至少有一个零点。

记为 (xk,xk 1)使

(4)( ) f(4)( ) H3(4)( ) 4!g(x) 0

又 H3(t) 0

(4)

f(4)( )

g(x) , (xk,xk 1)

4!

其中 依赖于x

f(4)( )

R(x) (x xk)2(x xk 1)2

4!

分段三次埃尔米特插值时，若节点为xk(k 0,1, ,n)，设步长为h，即

xk x0 kh,k 0,1, ,n在小区间[xk,xk 1]上

f(4)( )

R(x) (x xk)2(x xk 1)2

4! 1(4)

R(x) f( )(x xk)2(x xk 1)2

4!

1

(x xk)2(xk 1 x)2maxf(4)(x)

a x b4!

1x xk xk 1 x22 [()]maxf(4)(x)

a x b4!2

114

4hmaxf(4)(x)

a x b4!2

h4 maxf(4)(x)384a x b

16．求一个次数不高于

4

次的多项式

P（x），使它满足

P(0) P (0) 0,P(1) P (1) 0,P(2) 0

解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式

x0 0,x1 1y0 0,y1 1 m0 0,m1 1

1

1

H3(x) yj j(x) mj j(x)

j 0

j 0

0(x) (1 2

x x0x x12

)()x0 x1x0 x1x x1x x02

)()x1 x0x1 x0

(1 2x)(x 1)2

1(x) (1 2

(3 2x)x2

0(x) x(x 1)2 1(x) (x 1)x

2

H3(x) (3 2x)x2 (x 1)x2 x3 2x2

设P(x) H3(x) A(x x0)(x x1) 其中，A为待定常数

2

2

P(2) 1

P(x) x 2x Ax(x 1)

3

2

2

2

A

1 4

12

x(x 3)2 4)x

2

从而P(x)

x)1( /17．设f(

，在 5 x 5上取n 10，按等距节点求分段线性插值函数Ih(x)，

计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)值，并估计误差。 解：

若x0 5,x10 5 则步长h 1,

xi x0 ih,i 0,1, ,10

f(x)

1

2

1 x

在小区间[xi,xi 1]上，分段线性插值函数为

Ih(x)

x xi 1x xi

f(xi) f(xi 1)

xi xi 1xi 1 xi

11

(x x) i

1 xi21 xi 12

(xi 1 x)

各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值为 当x 4.5时，f(x) 0.0471,Ih(x) 0.0486 当x 3.5时，f(x) 0.0755,Ih(x) 0.0794 当x 2.5时，f(x) 0.1379,Ih(x) 0.1500 当x 1.5时，f(x) 0.3077,Ih(x) 0.3500 当x 0.5时，f(x) 0.8000,Ih(x) 0.7500 误差

h2

maxf(x) Ih(x) maxf ( ) xi x xi 18 5 x 5

1

2

1 x 2x

f (x) ,

(1 x2)2

又 f(x)

6x2 2

f (x)

(1 x2)324x 24x3

f (x)

(1 x2)4

令f (x) 0

得f (x)的驻点为x1,2 1和x3 0

1

f (x1,2) ,f (x3) 2

2

1

maxf(x) Ih(x) 5 x 54

18．求f(x) x在[a,b]上分段线性插值函数Ih(x)，并估计误差。 解：

在区间[a,b]上，x0 a,xn b,hi xi 1 xi,i 0,1, ,n 1,

2

h maxhi

0 i n 1

f(x) x

2

函数f(x)在小区间[xi,xi 1]上分段线性插值函数为

Ih(x)

x xi 1x xi

f(xi) f(xi 1)

xi xi 1xi 1 xi

12

[xi(xi 1 x) xi 12(x xi)]hi

误差为

1

maxf(x) Ih(x) maxf ( ) hi2xi x xi 18a b f(x) x2

f (x) 2x,f (x) 2h2

maxf(x) Ih(x) a x b4

19．求f(x) x在[a,b]上分段埃尔米特插值，并估计误差。 解：

在[a,b]区间上，x0 a,xn b,hi xi 1 xi,i 0,1, ,n 1, 令h maxhi

0 i n 1

4

f(x) x4,f (x) 4x3

函数f(x)在区间[xi,xi 1]上的分段埃尔米特插值函数为

Ih(x) ( ( ( (

x xi 12x xi

)(1 2)f(xi)xi xi 1xi 1 xi

x xi2x xi 1)(1 2)f(xi 1)xi 1 xixi xi 1x xi 12

)(x xi)f (xi)xi xi 1

x xi2

)(x xi 1)f (xi 1)xi 1 xi

xi4

3(x xi 1)2(hi 2x 2xi)hixi 14

3(x xi)2(hi 2x 2xi 1)hi

4xi2

(x x)i 1(x xi)2hi

3

4xi 13

2(x xi)2(x xi 1)hi

误差为

f(x) Ih(x)

1(4)

f( )(x xi)2(x xi 1)2 4!1h maxf(4)( )(i)424a x b2

又 f(x) x

4

f(4)(x) 4! 24

hi4h4

maxf(x) Ih(x) max a x b0 i n 11616

试求三次样条插值，并满足条件：

(1)S (0.25) 1.0000,S (0.53) 0.6868;

(2)S(0.25) S(0.53) 0.

解：

h0 x1 x0 0.05h1 x2 x1 0.09h2 x3 x2 0.06h3 x4 x3 0.08

j 1

hj 1hj 1 hj

, j

hjhj 1 hj

533

, 2 , 3 , 4 11457

1

924

, 2 , 3 , 0 11457

f(x1) f(x0)

f x0,x1 0.9540

x1 x0f x1,x2 0.8533f x2,x3 0.7717f x3,x4 0.7150

(1)S (x0) 1.0000,S (x4) 0.6868d0

6

(f x1,x2 f0 ) 5.5200h0

f x1,x2 f x0,x1

4.3157

h0 h1

f x2,x3 f x1,x2

3.2640

h1 h2

d1 6d2 6d3 6d4

f x3,x4 f x2,x3

2.4300

h2 h3

6

(f4 f x3,x4 ) 2.1150h3

由此得矩阵形式的方程组为

2 1 M0 5.5200

59 2 M1 4.3157 1414

32

2 M2 3.2640

55

34

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