数值分析第二章答案

第二章 插值法

1．当x 1, 1,2时，f(x) 0, 3,4,求f(x)的二次插值多项式。 解：

x0 1,x1 1,x2 2,

f(x0) 0,f(x1) 3,f(x2) 4;l0(x) l1(x) l2(x)

(x x1)(x x2)1

(x 1)(x 2)

(x0 x1)(x0 x2)2(x x0)(x x2)1

(x 1)(x 2)

(x1 x0)(x1 x2)6

(x x0)(x x1)1

(x 1)(x 1)

(x2 x0)(x2 x1)3

则二次拉格朗日插值多项式为

L2(x) yklk(x)

k 0

2

3l0(x) 4l2(x)

(x 1)(x 2)

124

(x 1)(x 1) 3

5237x x 623

2．给出f(x) lnx的数值表

用线性插值及二次插值计算的近似值。

解：由表格知，

x0 0.4,x1 0.5,x2 0.6,x3 0.7,x4 0.8;f(x0) 0.916291,f(x1) 0.693147f(x2) 0.510826,f(x3) 0.356675f(x4) 0.223144

若采用线性插值法计算ln0.54即f(0.54)， 则0.5 0.54 0.6

l1(x) l2(x)

x x2

10(x 0.6)x1 x2

x x1

10(x 0.5)

x2 x1

L1(x) f(x1)l1(x) f(x2)l2(x)

6.9314x7 (

0.6) (5.x1 0826

L1(0.54) 0.6202186 0.620219

若采用二次插值法计算ln0.54时，

l0(x) l1(x) l2(x)

(x x1)(x x2)

50(x 0.5)(x 0.6)

(x0 x1)(x0 x2)

(x x0)(x x2)

100(x 0.4)(x 0.6)

(x1 x0)(x1 x2) (x x0)(x x1)

50(x 0.4)(x 0.5)

(x2 x0)(x2 x1)

L2(x) f(x0)l0(x) f(x1)l1(x) f(x2)l2(x)

50 0.9162x91 (x0. 5)( 0.6)x69. 31x47 (0. 140)8(260.5 60)x(0. 0.54x)( 0.5

L2(0.54 ) 0.61531 9 84

0. 615320

3．给全cosx,0 x 90的函数表，步长h 1 (1/60),若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。

解：求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当0 x 90时， 令f(x) cosx 取x0 0,h (

1 1

)

606018010800

令xi x0 ih,i 0,1,...,5400 则x5400

2

90

当x xk,xk 1 时，线性插值多项式为

L1(x) f(xk)

插值余项为

x xk 1x xk

f(xk 1)

xk xk 1xk 1 xk

R(x) cosx L1(x)

1

f ( )(x xk)(x xk 1) 2

又 在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosx 0,1 ，故计算中有误差传播过程。

1

(f*(xk)) 10 5

2R2(x) (f*(xk)) (f*(xk))(

x xk 1x xk 1

(f*(xk 1))

xk xk 1xk 1 xk

x xk 1x xk 1

)

xk xk 1xk 1 xk

1

(f*(xk))(xk 1 x x xk)

h

(f*(xk))

总误差界为 R R1(x) R2(x)

1

( cos )(x xk)(x xk 1) (f*(xk))21

(x xk)(xk 1 x) (f*(xk))2 11

(h)2 (f*(xk))22

1

1.06 10 8 10 5

2

0.50106 10 5

4．设为互异节点，求证： （1）

n

xl(x) x

kjjj 0n

k

(k 0,1, n, )

（2）证明

(x

j 0

j

x)klj(x) 0 (k 0,1, n, )

（1） 令f(x) x

k

若插值节点为xj,j 0,1, ,n，则函数f(x)的n次插值多项式为Ln(x)

xl(x)。

kjjj 0

n

f(n 1)( )

插值余项为Rn(x) f(x) Ln(x) n 1(x)

(n 1)!

又 k n,

f(n 1)( ) 0 Rn(x) 0

n

k

xk n, )jlj(x) x (k 0,1,j 0

(2) (xj x)klj(x)

j 0

n

( Ckjxij( x)k i)lj(x)

j 0n

i 0i

k

nn

C( x)( xijlj(x))

k i

i 0

j 0

n

又 0 i n 由上题结论可知

xl(x) x

kjj

i

j 0

n

原式 Cki( x)k ixi

i 0

n

(x x)k 0

得证。

5设f(x) C

2

a,b 且f(a) f(b) 0,求证：

1

maxf(x) (b a)2maxf (x a x ba x b8

解：令x0 a,x1 b，以此为插值节点，则线性插值多项式为

L1(x) f(x0)

= f(a)

x x1x x0

f(x1)

x0 x1x x0

x bx a

f(b)

a bx a

又 f(a) f(b) 0 L1(x) 0

插值余项为R(x) f(x) L1(x)

1

f (x)(x x0)(x x1) 2

f(x)

1

f (x)(x x0)(x x1) 2

又 (x x0)(x x1)

2

1 (x x0) (x1 x) 2

12 (x1 x0)41

(b a)2

4

1

maxf(x) (b a)2maxf (x a x ba x b8

6．在 4 x 4上给出f(x) e的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似值，要使截断误差不超过10，问使用函数表的步长h应取多少？

解：若插值节点为xi 1,xi和xi 1，则分段二次插值多项式的插值余项为

6

x

x

1

f ( )(x xi 1)(x xi)(x xi 1) 3!1

R2(x) (x xi 1)(x xi)(x xi 1)maxf (x)

4 x 46R2(x)

设步长为h，即xi 1 xi h,xi 1 xi

h

1343

R2(x) e4 eh.

627若截断误差不超过10，则

6

R2(x) 10 643

h 10 6 27

h 0.0065.7．若yn 2,求 yn及 yn.，

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

n

4

4

yn 2n

4yn (E 1)4yn

j 4 4 j

( 1) Eyn

j 0 j 4

j 4 ( 1) y4 n j

j 0 j 4 j 4 4 j ( 1)2 yn j 0 j (2 14)yn

4

yn 2n

12

124

yn (E E)yn

(E)(E 1)4yn

E yn

2

4 124

4

yn 2 2n 2

8．如果f(x)是m次多项式，记 f(x) f(x h) f(x)，证明f(x)的k阶差分

kf(x)(0 k m)是m k次多项式，并且 m 1f(x) 0（l为正整数）。

解：函数f(x)的Taylor展式为

f(x h) f(x) f (x)h

其中 (x,x h)

11(m)1

f (x)h2 f(x)hm f(m 1)( )hm 1 2m!(m 1)!

又 f(x)是次数为m的多项式

f(m 1)( ) 0

f(x) f(x h) f(x)

f (x)h

11(m)

f (x)h2 f(x)hm 2m!

f(x)为m 1阶多项式 2f(x) ( f(x)) 2f(x)为m 2阶多项式

依此过程递推，得 f(x)是m k次多项式

k

mf(x)是常数

当l为正整数时，

m 1f(x) 0

9．证明 (fkgk) fk gk gk 1 fk 证明

(fkgk) fk 1gk 1 fkgk

fk 1gk 1 fkgk 1 fkgk 1 fkgk

gk 1(fk 1 fk) fk(gk 1 gk) gk 1 fk fk gk fk gk gk 1 fk

得证

10．证明

f g

kk 0

n 1

k

fngn f0g0 gk 1 fk

k 0

n 1

证明：由上题结论可知

fk gk (fkgk) gk 1 fk

fk gk

k 0n 1

n 1

( (f …… 此处隐藏：3046字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……