【博弈论基础】(吉本斯)课后习题答案(2)

证明为子博弈完美均衡SPE：显然第二阶段的策略组合是NE，第一阶段若1偏离，不选择B而选择T，则会增加1单位收益，但在第二阶段会减少2单位收益，所以1不会偏离，若1在第一阶段选择B，则2会选择R，所以(B,R)会成为第一阶段的SPE。 2.12 略 2.13

使用触发战略，双方都采取垄断价格为：pi=(a+c)/2（最大化利润(a pi)(pi c)得出），只要任何一方违背时，以后就转向阶段博弈的价格pi=c。 如一直使用垄断价格，则每个企业收益每期都一样为，πi=(a c)/8

如在t期某企业违背了战略，t+1期开始双方的收益相同都为0，在t期它的最大收益为(a c)/4（考虑此企业只是把价格边际上减少一点点，所有的利润都归它），如不违背则把以后无限期

2

2

1

2

的收益贴现到t期可得1 δ(a c)/8，

1

22

触发战略有效的条件是：1 δ(a c)/8>(a c)/4，得到：δ>1/2

（可参见谢识予的《经济博弈论》习题解答）。 2.14 略 2.15

（1）垄断的产量、价格、利润： π=Q(a-Q)-CQ

利润最大化时：a-2Q=C，从而Q=(a-c)/2. 此时价格为(a-c)/2。

（2）古诺均衡下的产量、价格、利润： π=(a-∑qi) qi -cqi

πi

=a ∑qi qi c=0 qi qi=

a c

(i=1,2,3 n)n+1

价格为P=a

n(a c)nc+a

=.

n+1n+1

2

利润为πnc+aa ca c a c

i=n+1 n+1 c n+1= n+1

企业违背垄断产量时的各期利润：

π

n 1i= a 2n(a c) q i

qi cqi πi q=a (n 1)(a c)

2n qi qj c=0

i qn+1i=

4n(a c),p=(n+1)a+(3n 1)c

4n为(n+1)2

利润16n2

(a c)2 要使企业不违背产量，须满足：

(n+1)2(a c)2(a c)2(a16n2+δ(n+1)2+ ≤4n2

+δ c)2

4n+ 解之得：

δ≥

(n+1)2 4n(n+1)2

(n+1) 16n2

(0<δ<1)

待续>>>>>>

3.1 略 3.2

在市场需求为高时，企业1的最优策略为：

max(aH q1H q2 c)×q1H------------------------（1）

推出 q1H=

aH q2 c

-------------------------------（2） 2

在市场需求为低时，企业1的最优策略为：

max(aL q1L q2 c)×q1L ------------------------------（3）

a q2 c

推出q1L=L --------------------------------（4）

2

企业2的最优策略为：

max{θ(aH q1H q2 c)×q2+(1 θ)(aL q1L q2 c)×q2}----------（5）

由一阶条件的得：

q2*=

θ(aH q1H)+(1 θ)(aL q1L) c

---------------------------------------------------------（6）

2

（6）与（2），（4）联立：

(3 θ)aH (1 θ)aL 2c

6

(2+θ)aL θaH 2c

q1L*=

6

θa+(1 θ)aL cq2*=H

3

结论：企业1战略(q1H*,q1L*)，企业2战略q2*为贝叶斯纳什均衡。 q1H*=

3.3

行动空间：[0，a） 类型：{bH,bL}

推断：P(bH/bL)=θ,P(bL/bL)=1 θ P(bH/bH)=θ,P(bL/bH)=1 θ

效用函数： 企业i

max{θ(pi c)(a pi bHpjH)+(1 θ)(pi c)(a pi bHpjL)

max{θ(pi c)(a pi bLpjH)+(1 θ)(pi c)(a pi bLpjL) 企业j

max{θ(pj c)(a pj bHpiH)+(1 θ)(pj c)(a pj bHpiL) max{θ(pj c)(a pj bLpiH)+(1 θ)(pj c)(a pj bLpiL) 求解一阶条件

得 pjH*=piH*=

3.4

a2+(1 θ)(bL bH)× 22+θbH+(1 θ)bL

（1） （B，L）

（2） 参与者1在左边博弈时选T，右边博弈时选B；

如果参与者推断自然选择左边博弈的概率>2/3，参与者2选L

如果参与者推断自然选择左边博弈的概率=2/3，参与者2选L和选R无差异 如果参与者推断自然选择左边博弈的概率<2/3，参与者2选R （3） 参与者1以相等的概率选T或选B；

如果参与者推断自然选择左边博弈的概率>2/3，参与者2选L

如果参与者推断自然选择左边博弈的概率=2/3，参与者2选L和选R无差异 如果参与者推断自然选择左边博弈的概率<2/3，参与者2选R （4） 自然选择左边博弈时，参与者1选T，参与者2选L； 自然选择右边博弈时，参与者1选B，参与者2选R； 3.5

假设参与者1的私人信息为tc，参与者2的私人信息为tp。tc,tp∈(0,x)

正面 反面

1+tc, -1 -1, 1+tp

正面 -1, 1 1, -1 反面

当tc>c时，参与者1选正面；当tp>p时，参与者2选择反面 x cc

，选背面的概率为； xxpx p

参与者2选择正面的概率为，选背面的概率为。

xx

因此，参与者1选择正面的概率为

对于参与者1，若选正面的收益大于选择反面，则：

(1+tc)×

2px ppx pp

>( 1)×+ =〉tc> 2=c-------------------(1) xxxxx px ccx cc2c >( 1)×+ =〉tp> 2=p---------------------(2) xxxxx c

对于参与者2，若选反面的收益大于选择正面，则：

(1+tp)×

(1) 与（2）联立，

c=p带入（1）

2c 2x+2c=cx c2c2+(4 x)c 2x=0 4+x+c=

2

x c1==x2411==2x22x44x→0,→∞,→0

x2xx c1∴→

x2

x p1

p=c,∴x→0,→

x2

3.6

由于Game中各方地位对称，取第i个人进行分析

v(n 1)

假设其他所有人的策略都是bj=j, j≠i

n

则对于第i个人，效用最大化：

max{(vi bi)×Pr(bi>b1)×...×Pr(bi>bi 1)×Pr(bi>bi+1)...×Pr(bi>bn)}b(n 1)n

vj vj<i

n 1n

vj服从[0,1]上的均匀分布 j≠i,bi>bj=∴Pr(bi>bj)=

bi(n 1)n

max{(vi bi)×Pr(bi>b1)×...×Pr(bi>bi 1)×Pr(bi>bi+1)...×Pr(bi>bn)}

bi(n 1)n 1

}n

(n 1)n 1

]=0n

=max{(vi bi)×[

一阶条件: (vin bin vi)×bin 2×[二阶条件: [

(n 1)n 1

][ bin 2+(vin bin vi)×(n 2)×bin 3<0nv(n 1)

解得： bi*=i

n

v(n 1)

由于每个人的地位都是相同的，在其他人都选择bi*=in

每个人都不愿离开该策略

因此，每个人都选择该策略时，达到贝叶斯纳什均衡策略

4.1.a 标准式

1↖2 L’ R’

L L M

R

纯战略纳什均衡：( L, L’ ) ( R, R’ )

子博弈精炼纳什均衡：( L, L’ ) ( R, R’ ) 精炼贝叶斯纳什均衡：( L, L’ )

4.1.b 标准式

1↖2 L’ M’ R’

L L M

4，1 0，0 3，0 0，1 2，2 2，2

R

纯战略纳什均衡：( R, M’ )

子博弈精炼纳什均衡：( R, M’ ) 精炼贝叶斯均衡: 没有 4.2 标准式

1↖2 L’ R’

L R L

1, 3 1, 2 4, 0 4, 0 0, 2 3, 3 2, 4 2, 4 2, 4

M

六种纯战略组合，每种组合中都至少有一方存在偏离的动机，因此不存在纯战略纳什均衡，因此也就不存在纯战略精炼贝叶斯均衡。 求混合战略精炼贝叶斯均衡：

设参与者1选择L、M、R的概率分别为p1,p2 …… 此处隐藏：2426字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……