【博弈论基础】(吉本斯)课后习题答案

1.1 略 1.2

不会被重复剔除严格劣战略剔除的战略是：T, M, L, R； 纯战略纳什均衡是(T, R)和(M, L)。 1.3

**

设此博弈的纯战略纳什均衡是（s1, s2）。

***

s}=max{1 s,0}=1 s对于参与人1来说，s1=max{max*s1,max ； 122*

0≤s1≤1 s2

1 s2<s1≤1

**

同理，s2。 =1 s1

也即，此博弈的纯战略纳什均衡为（s1, s2），且满足s1+s2=1，0≤s1,s2≤1。 1.4

对于第i个厂商，其目标为最大化自己的利润，即：

*

maxπi=max(p c)qi=max(a qi q i c)qi；

qi≥0

qi≥0

******

由一阶条件 πi/ qi=0，可得：qi=(a q i c)/2……（1）

（1）式两端乘以2，再减qi，可得：qi=a Q c……（2），对于任意的i都成立。 所以所有的qi都相等。由此，将Q=

*

*

*

*

*

**

∑q

i

*

i=nqi*代入（2）式，可得：

qi*=(a c)/(n+1)，Q*=n(a c)/(n+1)，p*=(a+nc)/(n+1)。

当n趋近于无穷时，p*趋近于边际成本c，市场趋近于完全竞争市场。 1.5

双方都生产qm/2时，每一方的利润都为π1=(a c)/8；一方生产qm/2，另一方生产qc

2

时，生产qm/2的一方的利润为π2=5(a c)/48，生产qc的一方的利润为

2

π3=5(a c)2/36；双方都生产qc时，每一方的利润都为π4=(a c)2/9。以标准式表示

为：

qm/2 qc

π2,π3 π1,π1 qm/2

π3,π2 π4,π4 qc

因为π1<π3，π2<π4，所以每一方都有一个严格劣战略，即

猪头非整理

qm/2，从而最后的均衡为

1

(qc,qc)。因为π1>π4，所以均衡状态时，每一企业的福利都要比他们相互合作时下降。 至于q’，不妨令q'=(a c)/2，则同理可得如下标准式：

qm/2 qc q’

π2,π3 π5,π1 π1,π1 qm/2

π3,π2 π6,π7 π4,π4 qc

q’

π1,π5 π7,π6 π8,π8

其中，π5=(a c)/16，π6=(a c)/18，π7=(a c)/12，π8=0。此博弈符合题目要求，即(qc,qc)是唯一的纳什均衡，并且在纳什均衡下，每一企业的福利都要比他们相互合作时低，但两个企业都没有严格劣战略。

1.6

当0<c1,c2<a/2时，易求均衡产量q1=(a+c2 2c1)/3，q2=(a+c1 2c2)/3。而当

**

c1<c2<a且2c2>a+c1时，纳什均衡解为角点解，即q1=(a c1)/2，q2=0。此题目

*

*

222

说明：当厂商的生产成本有较大差异时，具有成本优势的厂商将垄断整个市场，而处于成本劣势的厂商将退出市场。 1.7

简单证明(c,c)为唯一的纳什均衡。

首先，给定对方定价c，己方定价c时，利润为0。而己方定价高于c时，利润为0，低于c时，利润为负。所以给定对方定价c，己方定价c是最优反应，这对于双方都成立，也即(c,c)是纳什均衡。

其次，由于不存在固定成本，所以市场中企业的定价不可能低于c。而双方定价都高于c时，每一方理论上都倾向于定价低于对方但无限接近对方，从而占据整个市场，从而此时没有稳定的均衡；而一方定价高于c、另一方定价为c同样不够成稳定均衡，因为定价为c的企业更倾向于定价高于c但低于另一方的定价。由此，可以证明纳什均衡(c,c)的唯一性。 1.8

如果有两个候选人，唯一的纯战略纳什均衡为x1=x2=0.5，即两候选人集聚于中点，平分两定偏如人请全侧的离果的参部，均中有相见

选票。下面简单证明：无论两候选人都在中点右侧，都在中点左侧，还是分每一候选人都倾向于比另一候选人更接近中点以获得超过半数的选票，所以衡；都在中点时，每个人都有1/2的胜出概率，而偏离必定输掉选举，所以没点。由此得证上述均衡为唯一的纯战略纳什均衡。

三个候选人，可以用类似于上面的方法证明不存在纯战略纳什均衡：无论三对位置如何，都不会形成稳定的均衡。所以题目要求的是混合纳什均衡。具Hotelling, H. (1929) “Stability in Competition”, Economic Journal 39: 41-57.

*

*

居中点没有稳有人会个候选体方法

1.9 略 1.10

按照求解混合战略纳什均衡的方法去解这些博弈，发现不存在混合战略纳什均衡，也就证明了。过程略。 1.11

首先重复剔除严格劣战略，可得下面的博弈：

L R

2，0 4，2 T

3，4 2，3 M

针对上面的博弈，设参与人1的战略为（p,1-p），参与人2的战略为（q,1-q）。 则对于1来说，2q*+4(1 q*)=3q*+2(1 q*)，得：q*=2/3； 对于2来说，4(1 p)=2p+3(1 p)，得p=1/3。 则原博弈的1.12

按照1.11的1.13

此博弈有两纯战略纳什混合战略纳

1

*

*

*

*

混合战略纳什均衡为：{ (1/3, 2/3, 0), (2/3, 0, 1/3) }。

解法，可得混合战略纳什均衡为：{ (2/3, 1/3), (3/4, 1/4) }。过程略。

个纯战略纳什均衡、一个混合战略纳什均衡。

均衡为：（向企业1申请，向企业2申请）；（向企业2申请，向企业1申请）。 什均衡为：

2

1

2

2

{((2w w)/(w+w),(2w

1.14

w1)/(w1+w2)),((2w1 w2)/(w1+w2),(2w2 w1)/(w1+w2))}

*

证明：在混合战略纳什均衡中，参与人i的混合战略为pi，其中选择第j个纯战略sij的概率为pij。用反证法证明。

假设pij>0，且sij是第一个被重复剔除劣战略所剔除的战略。那么参与人i必定存在另一个纯战略Sik，使得ui(sij,p i)<ui(sik,p i)，p i是其他参与人任意的战略组合。因为sij第一个被剔除，那么ui(sij,p i)<ui(sik,p i)必然成立。

构建参与人i的另一个混合战略pi'，其中pij'=0，pik'=pik+pij，其他纯战略的选择概

*****

率不变。因为ui(sij,p i)<ui(sik,p i)，所以ui(pi,p i)<ui(pi',p i)，而这与(pi,p i)为

*

*

*

*

*

*

**

混合战略纳什均衡矛盾，假设不成立，原命题得证。

2.1

采用逆向归纳法，先最大化家长的收益：给定孩子的行动A，来选择自己的行动B,

MaxV(Ip B)+k(Ic+B)

B

一阶条件： V'(Ip B)=k, B=Ip(A) V

*

*' 1

(k)

接着最大化孩子的收益，给定家长的反应函数B，来选A：

MaxU(Ic(A)+Ip(A) V' 1(k))

A

一阶条件： U(Ic+B)[Ic(A)+Ip(A)]=0 由于U是递增又严格凹的，U(Ic+B)≠0

这与孩子的选择可是全家的收入最大化的一阶条件相同：Ic(A)+Ip(A)=0 2.2

采用逆向归纳法，先最大化家长的收益：给定的孩子的行动S，来选择自己的行动B,

MaxV(Ip B)+k[U1(Ic S)+U2(S+B)]

B

'*''

'*

''

一阶条件： V'(Ip B)=kU2'(S+B)，

反应函数满足： 1<dB/dS=kU2/( kU2 V)<0 即，孩子储蓄减少，家长给予更高的赠与。

接着最大化孩子的收益：给定反应函数B，来选S：

*

*"""

MaxU1(Ic S)+U2(S+B*)

S

一阶条件： U1(Ic S)=U2(S+B)(1+dB/dS)，由此可得：

''**

0<U1(Ic S)/U2(S+B*)=(1+dB*/dS)<1 （*）

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