同济大学高等数学期中考试试题及解答

同济大学高等数学期中考试试题及解答

2011-2012学年第二学期《高等数学B(下)》期中考试试卷--1

同济大学课程考核试卷（期中试卷）

2011—2012学年第二学期

命题教师签名： 审核教师签名： 课号：122005 课名：高等数学B(下) 考试考查：

此卷选为：期中考试(√ )、期终考试( )、重修( )试卷

I f(x,y)dxdy

D

2

2

dy

1 1 y 2

f(x,y)dx dy

2

71 y 3

f(x,y)dx

.

5、记条件a为函数 z f(x,y)可微分；条件b为函数 z f(x,y)具有偏导数；条件c为函数z f(x,y)连续；条件d为函数 z f(x,y)具有连续的偏导数.则以下正确的充分必要关系为 【 D 】 A d a,

b c； B d a,b c；

学

则二重积分

D

专业 学号 姓名 任课教师

九 二 五 六 七 一 三 四 八 总分

（注意：本试卷共九大题，三大张，满分100分．考试时间为100分钟.解答题要求写出解题过程）

C a d b以及a b c； D . d a b以及d a c

（其中a b表示a是b的充分条件，a b表示a是b的充分必要条件）

一、填空选择题(每空格4分，共24分)

1、 以(1, 2,3),(2,0,5)以及( 1,2,4)为顶点的三角形面积为

2

6、函数f(x)

0

0 x 2

，若D是正方形的闭区域：0 x 2;0 y 2，

x 0或x 2

52

.

大

f(x y)d 的计算值为 【 C 】

A．1 B．2 C．4 D．8

程为

x2y2

z 2 2 2

ab

济

;该方向与z轴正向

x2y2

2、 若曲面 的方程为z 2 2，如果 关于平面z 1对称的曲面为 1，则 1的方

ab

，若再将 1向着x轴的正向移动2个单位得到曲面 2，则

x2 y2 z2 3x 0

二. （本题10分） 求曲线 在点(1,1,1)的切线与法平面方程，并分

2 2 1 0xyz

别求出坐标原点到该法平面以及切线的距离.

解

n1 (2x 3,2y,2z)(1,1,1) ( 1,2,2)，n2 (2, 2,1) 切线的方向向量为: l n1 n2 (6,5, 2) 切线方程： 法平面方程：

2的方程为

2

3

u xye在(1,1,1)点函数值增加最快的方向为3、

的夹角余弦为

z

同

k(2,3,1), k 0

(x 2)2y2

z 2 2

2ab

.

x 1y 1z 1

65 2

cos

14

2

.

6(x 1) 5(y 1) 2(z 1) 0

4、若D是由抛物线y x 2x 1与直线y x 3所围成的有界闭区域，则二重积分

或 6x 5y 2z 9 0

I f(x,y)dxdy分别化成先对y再对x，以及先对x再对y的二次积分式时，积分

D

坐标原点到该法平面的距离：d

965

I f(x,y)dxdy

D

dx

1

4x 3

x2 2x 1

f(x,y)dy

； 以及

坐标原点到该切线的距离：d

65

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2011-2012学年第二学期《高等数学B(下)》期中考试试卷--2

三．（本题10分）f(u,v)具有二阶连续的偏导数（1）如果函数z(x,y) f(2x 3y,x y) x 在(1,1)点取得极值，试写出函数f(u,v)满足的必要条件；

2

五．（本题10分）如果从(0,0)点开始，xoy平面上的一条曲线始终沿着函数

f(x,y) (x2 2x 6)ex 2y的梯度方向运行，试求该梯度曲线的轨迹.

解

梯度方向gradf (fx,fy)与曲线的切线方向一致，所以有

2z

（2）求出函数z(x,y)的二阶偏导.

x y

解 (1)

z z 2f1 f2 1; 3f1 2yf2 x y

dyfy

dxfx

得到 f1( 1,0) 2;f2( 1,0) 3

大

2z

(2) 二阶偏导 2( 3f11 2yf12) ( 3f21 2yf22)

x y

6f11 (4y 3)f12 2yf22

学

解

zx(1,1) 2f1( 1,0) f2( 1,0) 1 0

由必要条件

3( 1,0) 2( 1,0) 0zff12 y(1,1)

dy 2(x2 2x 6)

即得 dx x2 4

y(0) 0 x2 2x 6

y 2 2

x 4 2x 2ln(x2 4) 2arctan

x

C 2

由y(0) 0得到C 2ln4，所以得到所求的曲线

试求偏导数

u v，. x x

济

x2 y2 uv 0

四．（8分）已知函数u u(x,y);v v(x,y)是由方程组 2确定的可导函数， 22

xy u v 0

x2 4x

y 2x 2ln 2arctan

42

2

4

2

六．（本题10分）利用交换积分次序的方法计算积分

同

2x uxv uvx 0

解 各方程两边对x求导， 2

yuuvv 2 2 0xx

dx 2x3eydy

x

Fx

G u

（或 x

Fu x

Gu

得到

FvGv

FuFxFv

2

dx 2x3eydy dy

x

4

2

400

x3eydx

2

G v

， uFvFu xGvGu

GxGv

）

142y2

yedy 04

4

21

(y2 1)ey

4

1

(15e16 1) 4

u4xv uy2 v4xu vy2

； 2222

x2(u v) x2(u v)

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2011-2012学年第二学期《高等数学B(下)》期中考试试卷--3

七．（本题10分）计算二重积分闭区域.

解

222

D，其中是由x y 2y;x 0确定的 (x y)dxdy

D

九．（本题8分）(x1,y1,z1), ,(xn,yn,zn)是空间n个点，证明：若平面 是使得该n点到平面距离的平方和取得最小值的平面，则该平面必经过点(x,y,z)，其中

(x y)

D

2

dxdy (x2 2xy y2)dxdy

D

2d

2sin

1n1n1n

x xi，y yi，z zi

ni 1ni 1ni 1

证

(1 2sin cos ) 3d

4 20

(1 2sin cos )sin4 d

3 49 16

4 3

12

八．（本题10分）计算三重积分 zx2

y2

dv， 其中

旋转所成曲面与平面z 1所围成的立体.

解

I

2

10

d d 1

2z dz

1

(1 4) 2

d

4

21

同

设Ax By Cz D 0 是使得n点到平面的距离平方和取得最小值的平面

n

学

即 f(A,B,C,D) 1

A2

B2 C2

(Ax

i

Byi Czi D)2取得了最小值，

i 1

则有

n

fD

1

A2 B2 C2

2(Ax

i

Byi Czi D) 0

i 1

得到

是由平面曲线

z x2

绕 …… 此处隐藏：1173字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……