数值计算考题五——复合梯形求积公式与复合辛普森求积公式求积分

数值计算考题五

1. 分别用复合梯形求积公式与复合辛普森求积公式求积分I= e01x2sinx dx的近似值，要

求误差不超过 =0.5 10-5.

解：方法一： 复合梯形求积公式

复合梯形求积公式是将积分区间划分为n个很小的区间，然后将各个小区间的面积相加而得到在整个积分区间上的积分，当分成的小区间数n 时，求得的面积就等于积分的精确值。

由复合梯形求积公式的余项RTn可得满足精度要求 0.5 10-5时区间 a,b 被

分成的区间数n的最小值为700，所以在编程时循环次数应大于等于这个值，方可满足精度要求。以下是编写的C语言程序：

#include<stdio.h>

#include<math.h>

void main()

{

int n=700,i;

double x,f=0.0,t,h,T=0.0,c=2.0,a=0.0,b=1.0;

h=(b-a)/n;

for(i=0;i<n;i++)

{

x=a+i*h;

f=f+exp(pow(x,c))*sin(x);

}

t=(h/2)*(2*f+sin(1)*exp(1));

printf("T=%f\n",t);

}

输出结果为T=0.778746.

方法二：复合辛普森求积公式：

复合辛普森求积法是将积分区间分割之后，在每个小区间[xi,xi+1]上运用辛普森求积公式。以下是编写的c语言程序：

#include<stdio.h>

#include<math.h>

void main()

{

int n=700,i;

double x1,x2,f1=0.0,f2=0.0,t,h,T=0.0,c=2.0,a=0.0,b=1.0;

h=(b-a)/n;

for(i=0;i<n;i++)

{

x1=a+i*h;

x2=a+(i+0.5)*h;

f1=f1+exp(pow(x1,c))*sin(x1);

f2=f2+exp(pow(x2,c))*sin(x2); }

t=(h/6)*(2*f1+sin(1)*exp(1)+4*f2); printf("T=%f\n",t);

}

程序输出结果为0.778745.

2. 用高斯求积法求上述积分的近似值。

11解：变换区间，令x= 1 t ，则I=22由表查得高斯点和相应的系数得 10e(1 t)24 1 sin (1 t) dt. 2

1I e4

21{2 1 e 1 0.7745967 sin 1 0.7745967 0.5555556 2 e 1 0.7745967 2 1 sin 1 0.77459672 0.5555556

2 1 e 1 0 sin 1 0 0.8888889} 0.778745 2