高一数学集合测试卷(2012)(2)

-2<a<1 故选（C）

略解（二）设方程式的两个根为X1，X2 X1>1> X2 2222222

高一数学集合测试卷

则 △>0 △>0 △>0

X1 >1 (X1-1)>0 -2<a<1

6.在坐标平面内，纵横坐标都是整数的点，叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过一个整点的直线的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，p表示通过无穷整点的直线的集合，那么表达式正确的有几个（ ）

（5） M∪N∪P=I

（6） N≠ <1 -1)<0 1-1)( x2 –1)<0

（7） M≠

（8） P≠

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4

答案：（D）

点评:本题易构造出y=2x,y=2,Y 、（3）、（4）均是正2X 3,Y=X来说明（2）

确的，所以本题的难点在于证明过两个整点的直线一定过无数个整点：设直线ax+by=G过整点（Xo，yo），（xo，yo）易证直线必过整点（（n+1）xo—xo，（n+1yo—yo）所以直线ay+by=必过无数个整点。

7、已知I=R，集合A、B都是实数集I的子集。

A∩B{x|2＜4＝，A∩B={x1}（x—4）（8—x）≥0 ， A∩B={x|x2-6X-16>0}

求则A∩B=

略解: A∩B=x|x2 4 x| 2 x 2

A∩B= x|(x-4)(8-x)≥0 = x|4≤x≤8

A∩B=x|x2 8x 16 0 = x|x 8或x 2

由维思图易知 A∩B=(A∩B) ∪(A∩B) ∪(A∩B)

将A∩B，A∩B，A∩B 分别画在同一条轴上，易知：（A∩B）∪（A∩B）∪（A∩B） =≥ x|x≥4或x≤2 ∴A∩B= x|2 x 4

点评：本题涉及的各集合的关系较多，采用维思图和数轴表会使基间的各种关系较为直观。

其中A∩B= A∩B）∪（A∩B）∪（A∩B这一关系式可由集合的基本运算推出。

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8、集合M= x|x 2 2k,n.k n且n>kn 则集合p= x|1901≤x≤2000且x n 则集合M∩P中所整元素的和为 。

略解: ∵ X≥1901

∴2>1901

∴n≥11

当n=12时,2-2的最小值为2-2=2048>2000

∴n=11 进一步推理易知 k=7或6,

∴ M∩P={2-2,2-2}={1920,1984}11711nnk12116

∴M∩P=中各元素的和为 1920,1984=3904

点评：运用不等式控制的方法求出N的值是解题关键。

9、设集合m={1，2，3 1000}，对M的任一空子集X，令ax表示出中最大数与最小数之和，那么所有这样的ax的算术平均值是 。

略解：若A={a1a2…an} M

则 B={1001-a1,1001-a2….1001-am} M

∴aA=a1+am, aB=(1001-a1)+(1001-am)

∴aA+aB=2002

若A=B，则aA=aB=1001

∴所有这样ax的算术平均值为1001。

点评：构造A、B这两种对应集合是解题关键。

10、已知集合M={X|x=12m+8n+4l,m,n,2 z}与N={X|=209+169+12r,p,q,r z}求证：M=N 解：（1）证M N

对任意的x0 M,则必存在m0,n0,l0 z, 有x0=12 m0+8no+4L0

=20n0+16l0+12(m0－n0－L0)

∵n0， L0，m0－n0－L0 z

∴x0℃N

∴M N

（2）证N M

对任意的X N，则必存在P0，q0，XZ有x0=20P0+16q0+12r0=12r0+（2q0+4（5q0）

综上所得：M=N

点评：将系数为12，8，4的代数式与系数为20，16，12的代数式互相转化是解题的难点也是关键点；为解决这个难点可采用待定系数法，如设12mo+8no+4l0=20（q1m0+b，no+cl0）+16（q2m0+b2n0+c2l0）+12（a3mo+b3mo+c3lo）所以得到

12=20a1+16a1+12a3

8=20b1+16d2+12b3

4=20q1+16c2+12c3

只要求出每个方程的一组整数解即可！

11、设M={1，2，3， ，1995}，A是M的子集，且满足条件：当XA时，求A中元素的

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个数是多少？

解：用N（A）表示集合A中所合元素的个数。

由题意，K与15k（k=9，10， ，133）这两个数中至少有一个不属于A，所以至少有133—9+1=125个数不属于A。

所以，N（A）≤1995—125=1870

另一方面，可取A={1，2， }U{134，135， 1995}，A满是题意，且此时n（A）=1870 ∴N（A）的最大值为1870

点评：由题意构造出数组（9，9×15）；（10，10×15）， （133，195）是解决问题的关键。

2212、设A={xy|x (y 1)≤1|}Bm={xy}1y=－（x—m）2+2m}B=uBm，求A∩B的面积。

解：集合A看作是以（0，1）为圆心的1为半径的圆及圆内所有点的集合；

因为对任意的MR，均有－（X－M）2+2M≤2X+1，所以B=Ubm={x，y}|y≤2x+1}如图

∵直线Y=2X+1过（0，1）点，

∴A∩B即为半圆。

∴A∩B的面积为a。 2

点评：本题中集合B可看作是抛物线y=－2x），沿着直线y=－2x方向平移所扫过的点的集合（因为y=－（X—M）2+2M的所有顶点组成直线y=x2），所以我们努力寻找抛物线在移动过程中所扫过点的集合。设直线y=2x+b当y=x2有且仅有一个交点，即可求出b=1，所以抛物线y=－x2在平移过程中不会扫过y=2x+1上面的点，得B={Xy}|y≤2X+1}。