高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战25858(3)

（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值.

【分析】（Ⅰ）连接AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，分别求出向量，的坐标，进而根据MP⊥AP，得到?=0，进而求出PO的长；

（Ⅱ）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角A﹣PM﹣C的正弦值.

【解答】解：（Ⅰ）连接AC，BD，

∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，

故AC∩BD=O，且AC⊥BD，

以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，

∵AB=2，∠BAD=，

∴OA=AB?cos（∠BAD）=，OB=AB?sin（∠BAD）=1，

∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），=（0，1，0），=（﹣，﹣1，0），

又∵BM=，

∴=（﹣，﹣，0），

则=+=（﹣，，0），

设P（0，0，a），则=（﹣，0，a），=（，﹣，a），

∵MP⊥AP，

∴?=﹣a2=0，

解得a=，

即PO的长为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（﹣，0，），=（，﹣，），=（，0，），

设平面APM的法向量=（x，y，z），平面PMC的法向量为=（a，b，c），

由，得，

令x=1，则=（1，，2），

由，得，

令a=1，则=（1，﹣，﹣2），

∵平面APM的法向量和平面PMC的法向量夹角θ满足：

cosθ===﹣

故sinθ==

【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键.

20.（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c.

（Ⅰ）确定a，b的值；

（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；

（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围.

【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；

（Ⅱ）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；

（Ⅲ）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案.

【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）

∴f′（x）=2ae2x+2be﹣2x﹣c，

由f′（x）为偶函数，可得2（a﹣b）（e2x﹣e﹣2x）=0，

即a=b，

又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，

即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，

故a=b=1；

（Ⅱ）当c=3时，f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2=1＞0恒成立，

故f（x）在定义域R为均增函数；

（Ⅲ）由（Ⅰ）得f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣c，

而2e2x+2e﹣2x≥2=4，当且仅当x=0时取等号，

当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值；

当c＞4时，令t=e2x，方程2t+﹣c=0的两根均为正，

即f′（x）=0有两个根x1，x2，

当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，

故当x=x1，或x=x2时，f（x）有极值，

综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）.

【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档.

22.（12分）设a1=1，an+1=+b（n∈N*）

（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论.

【分析】（Ⅰ）若b=1，利用an+1=+b，可求a2，a3；证明{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设f（x）=，则an+1=f（an），令c=f（c），即c=﹣1，解得c=.用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1即可.

【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，an+1=+b，b=1，

∴a2=2，a3=+1；

又（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+1，

∴{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列；

∴（an﹣1）2=n﹣1，

∴an=+1（n∈N*）；

（Ⅱ）设f（x）=，则an+1=f（an），

令c=f（c），即c=﹣1，解得c=.

下面用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1.

n=1时，a2=f（1）=0，a3=f（0）=﹣1，∴a2＜c＜a3＜1，成立；

设n=k时结论成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1

∵f（x）在（﹣∞，1]上为减函数，

∴c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，

∴1＞c＞a2k+2＞a2，

∴c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，

∴c＜a2k+3＜1，

∴a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即n=k+1时结论成立，

综上，c=使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立.

【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大.

21.（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上.DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.