高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战25858(2)

A. B. C. D.3

【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率.

【解答】解：不妨设右支上P点的横坐标为x

由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，

∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，

∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab

∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，

∴（3b﹣4a）（3b+a）=0

∴a=b，

∴c==b，

∴e==.

故选：B.

【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题.

9.（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺

序，则同类节目不相邻的排法种数是（）

A.72

B.120

C.144

D.168

【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案.

【解答】解：分2步进行分析：

1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，

2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，

分2种情况讨论：

①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，

排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，

此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；

②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，

排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，

此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；

则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，

故选：B.

【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便.

10.（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）

A.bc（b+c）＞8

B.ab（a+b）＞16

C.6≤abc≤12

D.12≤abc≤24

【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论. 【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+，

∴sin2A+sin2B+sin2C=，

∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）=，

2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））=，

化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]=，

∴sinAsinBsinC=.

设外接圆的半径为R，

由正弦定理可得：=2R，

由S=，及正弦定理得sinAsinBsinC==，

即R2=4S，

∵面积S满足1≤S≤2，

∴4≤R2≤8，即2≤R≤，

由sinAsinBsinC=可得，显然选项C，D不一定正确，

A.bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，

B.ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16，不一定正确，

故选：A.

【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上.

11.（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（?UA）∩B={7，9}.

【分析】由条件利用补集的定义求得?UA，再根据两个集合的交集的定义求得（?UA）∩B.【解答】解：∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，

∴（?UA）={4，6，7，9 }，∴（?UA）∩B={7，9}，

故答案为：{7，9}.

【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题.

12.（5分）函数f（x）=log2?log（2x）的最小值为.

【分析】利用对数的运算性质可得f（x）=，即可求得f（x）最小值. 【解答】解：∵f（x）=log2?log（2x）

∴f（x）=log（）?log（2x）

=log x?log（2x）

=log x（log x+log2）

=log x（log x+2）

=，

∴当log x+1=0

即x=时，函数f（x）的最小值是.

故答案为：﹣

【点评】本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题.

13.（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=4±.

【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论. 【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2，

∵△ABC为等边三角形，

∴圆心C到直线AB的距离d=，

即d=，

平方得a2﹣8a+1=0，

解得a=4±，

故答案为：4±

【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键.

三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分

14.（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，

若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=4.

【分析】由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而，代入数据可得结论.

【解答】解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，

∴△PAB∽△PCA，

∴，

∵PA=6，AC=8，BC=9，

∴，

∴PB=3，AB=4，

故答案为：4.

【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题.

15.（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=.

【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径.

【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y=x+1，

曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y2=4x，

直线l与曲线C联立可得（x﹣1）2=0，

∴x=1，y=2，

∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ==.

故答案为：.

【点评】本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于

中档题.

16.若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，].

【分析】利用绝对值的几何意义，确定|2x﹣1|+|x+2|的最小值，然后让a2+a+2小于等于它的最小值即可.

【解答】解：|2x﹣1|+|x+2|=，

∴x=时，|2x﹣1|+|x+2|的最小值为，

∵不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，

∴a2+a+2≤，

∴a2+a﹣≤0，

∴﹣1≤a≤，

∴实数a的取值范围是[﹣1，].

故答案为：[﹣1，].

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题.

四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

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