岩土边坡稳定性的刚体有限元上限分析法(2)

Δv

(2 1)

2)(2)

)

local

=L(1)

[N(v

g

N(1)v

(1g

] (6)

写成一般形式为

Δv(2 1)local=A1vG (7) 其中，

(1)

L(1)

]

N(2)

A0

1=[L 0

N(1)

v v(1)g G= v(2)

g

2.2 相关约束条件和边界条件

在岩土工程计算分析中常用Mohr-Coulomb屈服函数，其表达式为

|τ|=c′+σ′n

tan ′ (8) 与有限单元法计算高斯点应力不同，刚体有限元法计算交界面上的面力，可以直接将面力分量代入式(8)进行屈服破坏判断。这种处理方法实际上假定了单元交界面即为破坏面。这在一定程度上决定了刚体有限元法的计算结果与网格的剖分方式相关。

速度间断场允许发生在相邻三角形或四面体单元的共享边或面上。为使速度场运动许可，速度必须满足塑性流动法则。按照Mohr-Coulomb屈服函数和相关联流动法则，法向速度分量与切向速度分量之间必须满足如下关系：

Δvn= Δvttan ′ (9)

显然，由于绝对值的原因，Δvt可为零、负值或正值。从数学规划的角度来看，这是一个自由变量，任何一个自由变量都可以表示成2个非负数之差。因此，速度间断场上的相对切向速度分量Δvt可以用2个非负变量v+和v 来表示：

Δvt=v+ v (10)

其中，

Δvt={ΔvdΔvs}T

v+={v++T

1LvD 1} v ={v ，v T1，LD 1}

其中，

v+i ≥0

v

≥0 (i = 1，…，D－1) (11) i

本文采用了与文[11，12]同样的处理方法，|Δvt|可以表示为

D 1

Δvt=∑(v+i+v i) (12)

i=1这样，式(10)～(12)可以写成如下矩阵形式：

Δv=A2vd

v (13)

d≥0

其中，

v+ + T

d={v1v1LvD 1vD 1}

在二维情况下：

A tan ′ tan ′ 2=

1 1

刚体有限元法与极限分析相结合为求解边坡稳定性问题提供了新的方法。采用刚体有限单元离散边坡计算区域,同时构造运动许可速度场,在满足屈服条件、流动法则、虚功方程以及相应的边界条件的基础上,引入非线性数学规划方法求解最小安全系数。几个算例说明了该方法的正确性和可

第23卷 第6期 殷建华等. 岩土边坡稳定的刚体有限元上限分析法 901

在三维情况下：

tan ′ tan ′ tan ′ tan ′

A2= 1 100

001 1

运动许可的速度场在速度边界上必须满足相应的边界条件。假设单元k位于边界上，其速度已知为，则对机动容许的速度场必须满足以下等式：

vk

g

= (14)

2.3 等效荷载

由于在刚体有限元模型中，以单元形心处的刚体位移作为基本未知量，因此，外力荷载应该转换为单元形心的等效荷载。在这里，可以借助自然坐标来简化其计算。

在一维问题中任意一点P的自然坐标Li(i= 1，2)定义为

L1=l2/l

L=l/l (15)

21

式中：l1，l2，l如图3所示，其与直角坐标的变换关系为

x=L1x1+L2x2

y=L (16)

1y1+L2y2

一维自然坐标有如下的性质：

∫∫Lab

a!b!1L2dl=L(a+b+1)!L (17)

图3 自然坐标 Fig.3 Natural coordinates

外力荷载一般有面力荷载和体力荷载。面力等效荷载的计算可以借助一维自然坐标。如图4所示，有一均布面力q=[0 q]T

，其等效形心荷载的计

算如下：

Q=∫

lNTqdl (18)

AB

将式(16)，(17)代入式(18)，可得

Q=[0 qlT

AB

qlAB(xg xc)]

(19)

式中：lAB为AB边的长度，xc为AB边中点的x方向坐标。

图4 三角形边上受均布面力

Fig.4 Uniformly distributed load on triangle edge

式(19)表明，作用在AB边上的均布面力的等效形心荷载沿y方向的分量为该边面力的合力，沿转角方向的分量则相当于该边面力的合力对形心点的力矩。这个成果也符合刚体作用力的平移定理。

体力的等效形心荷载可以类似于上述方法，借助面积坐标来计算。 2.4 虚功方程

根据虚功原理，对于任意一组运动许可的速度场，外力的虚功应当等于物体内能的耗散，即

∫

σ′ε&** *

ijd +∫Γ

*σΓ′ε***

ij′&Γ*dΓ=WV

+QV*+PV* (20) 式中：左边2项分别为产生于破坏体 *内和沿滑动面Γ*的内部耗散能；右边3项则分别代表了滑动体自重、所承受的面力以及孔隙水压力的等效形心荷载在虚速度V*上所做的功。

按照刚体有限元的假设，刚体单元本身没有应变，单元内部不存在内能耗散，因而式(20)左边第

1项等于零，即∫

*σ′ijε&*ijd *=0。系统的内能仅仅产

生于刚体单元之间的交界面上，可以表示为

∫

σΓ′**

Γ*

′ε&Γ*dΓ

=∫ SΔv

+σd

(t

′n

Δvn)dS (21) 根据Mohr-Coulomb屈服准则和相关联流动法则，式(21)右边项可以写成

∫ S(Δv

+σn

ΔvS=d

t

′n)d∫ Sc′ΔvtdS= d

∫ D 1 Sc′(v++v

) d ∑ii dS (22) i=1

由式(22)，可以得到

∫ D 1+ ** Sc′(vd ∑i+v

i) dS=Wv*g+Qvg+Pvg (23) i=1

写成一般的矩阵形式为

刚体有限元法与极限分析相结合为求解边坡稳定性问题提供了新的方法。采用刚体有限单元离散边坡计算区域,同时构造运动许可速度场,在满足屈服条件、流动法则、虚功方程以及相应的边界条件的基础上,引入非线性数学规划方法求解最小安全系数。几个算例说明了该方法的正确性和可

902 岩石力学与工程学报 2004年

A3vd=A4vg (24)

式中：AT3={ci′li} (i=1，L，nD)，li为速度间断线(面)的长度或面积，nD为速度间断线(面)的总数；A4=W+Q+P。

2.5 目标函数

工程实践中，边坡的稳定性一般采用安全系数作为定量评价指标。边坡沿着某一滑裂面滑动的安全系数可以这样定义，将岩土的抗剪强度指标c′和

′降低为

c′e

=c′/F

tan ′ e=tan ′/F (25)

则岩土体沿着此滑裂面处处达到极限平衡。这种将强度指标的储备作为安全系数定义的基础方法是经过多年的实践，并被工程界广泛承认的一种作法。

塑性力学上限定理指出，通过按外力功和内能耗散相等来计算获得的外荷载一定比真实的临界荷载大或与其相等。在求解边坡稳定问题时，由虚功方程计算确定的安全系数将比真实解大或与其相等。因此，从数学角度看，边坡稳定问题的上限分析可以视为一个确定安全系数的极小值问题。从实用角度来看，则需应用从最优化原理发展的数值计算方法来确定最小安全系数。 2.6 最优化问题

以上介绍了将边坡稳定问题的上限分析转化为最优化问题求解的基本步骤，值得注意的是抗剪强

度折减参数c′e

和 e′出现在约束条件中，也就 …… 此处隐藏：2598字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……