面对高考高中数学学科课堂教学设计的理论与实践(5)

已知两边和夹角；已知三边.

首先分析最特殊的三角形——直角.如图1.已知两边a,b及夹角 C 90 ，能否求第三边？

勾股定理c2 a2 b2

二、引入

提问2：在斜三角形中边和角有怎样的关系？

在△ABC中，当 C 90 时，有c2 a2 b2．

实验：若a,b边的长短不变， C的大小变化,c2与a2 b2有怎样的大小关系呢？

如图2，若 C 90 时，由于b边与a边的长度不变，所以c边的长度变短，即c2 a2 b2. 如图3，若 C 90 时，由于b边与a边的长度不变，所以c边的长度变长，即c2 a2 b2. 当 C 90 时，c2 a2 b2，那么c2与a2 b2到底相差多少呢？与怎样的角有关呢？显然应与∠C的大小有关.

图1 图2 图

3

三、定理证明

探求c2与a2 b2及∠C的大小关系.

提问3：如何利用向量解决：（1）探求c2与a2 b2及∠C的大小关系.边a,b与∠C有怎样的位置关系？（2）边c的所在直线向量怎样用a,b所在直线向量表示出来？

如图4，向量的点乘公式：CB CA abcosC（引导学生选择合适的向量方向）

向量的减法法则：AB CB CA.

2 2 2 2c AB (CB CA) CB 2CB CA CA2

a b 2abcosC.22

c2

a2 b2 2abcosC.

图4

戈壁滩上的资料分析

同理可得

a2 b2 c2 2bccosA.

b2 c2 a2 2accosB.

这就是余弦定理.它在实际测量中有很好的作用.

16世纪，法国数学家韦达利用三角法证明余弦定理.一些教材还介绍了利用解析法证明.事实上还可以利用几何法证明.对勾股定理的证明目前有40多种，而对余弦定理的证明方法却不多见，这正我们同学积极思考和创造的机会.留给同学课后研究.

四、定理研究

提问4：余弦定理中有什么特点、规律？蕴藏什么秘密？等待着我们探索发现，分4人一小组合作完成. 小组代表发言，一组一条不重复.

学生对定理的研究：

表示关系：1．边角关系

2．三边和一角

文字表述：3．三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

公式作用：4．已知两边和它们的夹角的大小，可求第三边的大小；

5．已知三边，求三个角.

基本练习：（1）a 2,b 3,C 60 ，求c.

（2）（课本p132例题）在 ABC中,已知a 7,b 10,c 6，求A,B和C（精确到1°）. 另一种表现形式：

b2 c2 a2c2 a2 b2a2 b2 c2

cosA . cosB . cosC . 2bc2ca2ab

定理推广：6．勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.

当c 90 时，c2 a2 b2.

定理推广：7．直角三角形中的锐角三角比是余弦定理的特例

b2 c2 a22b2b 当c 90时，c a b，cosA 2bc2bcc

定理联系：8．若①+②得：c bcosA acosB. 这是三角形中的射影定理.

判断三角形的形状：

9．判断钝角三角形的充要条件：有一边的平方大于另两边的平方和.

10．判断锐角三角形的充要条件：任意两边的平方和大于第三边的平方.

……

五、定理应用 222

例1．（课本p33例题）在 ABC中，已知a 2.730,b 3.696,C 82 28 ,解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到1 ）

提问5：已知什么条件，求什么，先求什么，再求什么.

（1）已知两边及夹角，先求第三边；

（2）通过三边，求角A；

（3）求角B 180 A C.

戈壁滩上的资料分析

六、小结

提问6：这节课我们学习了什么知识、它有什么作用、利用了什么数学思想或方法.

（1）本节课我们研究余弦定理.它有两种表现形式，一种是用两边及夹角的余弦表示第三边，另一种是三边表示角．

（2）余弦定理的作用通过它的两种形式直接表现：已知两边及夹角求第三边；已知三边求三内角．它和正弦一起解决了解三角形中各类问题.

（3）本节课我们利用向量法证明定理，体现向量法的灵活运用.

七、作业

基础性巩固练习

1．课本p133, 3.4.

2．在△ABC中，已知下列条件,求解三角形

（1

）a 1,b C 150 ．

（2

）b a 5,A 45 ．

（3）a 16,c 19,C 120 .

独立性探求问题

3．写出三角形为锐角三角形的一个充要条件.

合作性研究问题

研究利用几何法、三角法、解析法或创造新的方法证明余弦定理.

教学课后反思与总结

在下面几个方面很好地完成教学任务和实现教学目标：

1．课题引入：研究一般三角形的一类问题，目标明确.由特殊的直角三角形开始研究，探讨

斜三角形中一边的平方和另两边平方和及夹角的关系.展现知识发生和发展过程.

2．定理证明：利用向量证明定理，条理清晰、思路轻松自然.

3．定理研究：创造学生自主探究的氛围，让学生（细心）观察、（小组）讨论、（交流）合作、（代表）报告.充分调动学习的积极性，促进不同层次的学生合作交流.

4．思想总结：本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。

创设数学情境是“问题教学”模式的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。 这种教学模式主张以问题为“主线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键。教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活

戈壁滩上的资料分析

动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。

数学教学设计案例2

课题名称：分形几何的研究

教学年级：高二年级（下）

姓名：王长俊

（一）教学内容分析

1.教学主要内容与特点

课题《“分形”几何的研究》是建平中学模块课程改革中数学人文模块课程系列之数学大师板块的一个案例。这个课题的选择是在对中外古今数学大师成果经过系列研究，得到一些基本共识的基础上，由学生课题研究组自己选择落实的。在以往的模块课程中，我们对笛卡儿平面直角坐标系的坐标法思想进行了研究，对吴文俊教授从研究中国古代算法中受到启发，并结合现代计算机技术进行思考，发展出了世界领先的“数学定理机器证明”方法（世称“吴方法”）等课程研究之后，结合学生现有的数列与数列的极限的知识结构的基础上，在与学生课题组对迭代等思想方法经过交流讨论之后，再由学生课题组独立完成的。

2.教材内容的数学 …… 此处隐藏：2815字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……