全等三角形第一讲综合知识与练习

全等三角形

一、全等三角形知识梳理:

全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形；

全等三角形的性质：全等三角形对应边；对应角相等；对应边上的中线相等；对应边上的高相等； 对应角的平分线相等. 三角形全等的条件：（1）SSS; (2) SAS; (3) ASA; (4) AAS; (5) HL 两个三角形不全等的情况：（1）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形；

（2） 有三个角对应相等的两个三角形.

全等变换：只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫全等变换. 平移、翻折、旋转前后的图形全等，具有全等的所有性质. （1）平移变换：把图形沿某直线平行移动. （2）对称变换：将图形沿直线翻着1800.

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置 .

二、角平分线：

角平分线的定义：一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的举距离相等.到角两边距离相等的点在角的角平分线上. 三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到三边距离相等. 三、几何证明的一般步骤： 1. 根据题意，画出图形； 2. 根据题设、结论、，结合图形，写出已知、求证.

3. 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.

四、考点分析

1. 全等的概念和性质；

2．三角形全等的条件：只给出三角形三角三边六个条件中的一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角

形一定全等.

3. 全等三角形的利用： 证明角相等：（1）对顶角相等；（2）等角的余角（或补角）相等； （3）两直线平行，同位角相等，内错角相等；（4）角平分线的定义； （5）等式性质；（6）全等三角形的对应角相等；（7）等边对等角.

证明线段线段：（1）中点定义；（2）等式性质；（3）全等三角形的对应边相等； （4）等角对等边；（5）角平分线的性质；（6）中垂线性质。

证明垂直的方法：（1）证明两直线夹角等于900；（2）证明邻补角相等； （3）若三角形的两锐互余，则第三个角是直角；

（4）垂直于平行线中的一条直线也垂直于另一条直线； （5）证明该角所在的三角形与已知直角三角形全等； （6）邻补角的平分线互相垂直.

证明一条线段等于另外两条线段的和：采用截长补短法.

（1）截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； （2）补短法：延长较短线段和较长线段相等. 4. 角平分线的性质及相关证明；

（1）有角平分线时，常用角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题. （2）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形. 5. 中线的性质相关证明：

（1）取线段中点构造全等三有形；

（2）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形； （3）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形 (倍长中线).

全等三角形的基本类型

1、平移型全等三角形

C

B

E

A

D

F

△ABD≌△ △ACE≌△ 2、对称型全等三角形

B

D

A

E

A

C

D

B

DC

△ABE≌△ △ACD≌△ △ABD≌△ 3、旋转型全等三角形

A

D

A

E

D

D

E

B

C

C

△ABD≌△ △AOE≌△ △ABE≌△

典型题型分析

类型1. 全等的概念和性质 例1. 如图，已知 ADE≌ DBF，DE//BF，DF//AC，例1图 例2图

则对应边为_____，对应角为_______.

例2. 如图，已知 ABC DEF，若AB DE， B 50 ， C 70 ， E 50 ，求 D的度数.

例3. 如图, ABC≌ BAD,点A和点B、点C和点D分别是对应顶点，如果AB=6cm，BD=7cm，

AD=4cm，那么BC的长为（ ）

A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 不能确定

变式题：如图， ABC≌ CDA,并且AB=CD，那么下列结论错误的是（ ）

A. ∠1＝∠2 B. ∠D＝∠B C. CA=AC D. AC=BC B

C 例3图 变式题图

例4. 如图所示， ABC绕顶点A顺时针旋转（旋转角度不大于1800），若∠B＝300，∠C＝400，问： （1）顺时针旋转多少度时，旋转后的 AB C 的顶点C 与原 ABC的顶点B和A在同一条直线上？ （2）再继续旋转多少度时，C、A、C 在同一条直线上（原 ABC是指开始位置）？

类型2. 三角形全等的条件： 1、“SSS”

例1. 如图，点E、F在BC上，AB=DC，AF=DE,BE=CF.求证： ABF≌ CDA.

B

F

BBC(4) (2) (3) E(1) F

变式题：已知点B,E,C,F在同一条直线上，AB=DF, AC=DE,BE=CF.求证：∠A=∠D.

B

例2. 如图，AC=AD,BC=BD.求证：∠C=∠D.

E C

F

例3. 如图，已知：AC，BD相交于O点，且AC BD,AB CD.

求证：∠B=∠C.

2、“SAS”

例1. 在 ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC，求证： ABD≌ ACD

例2. 如图，AB=AC,AD=AE,∠1＝∠2.求证： ABD≌ ACE.

【拓展提升】

1. 如图，已知： BO DO,CO AO，求证：OE OF

2.如图，已知：AB AD，CB CD. 求证：AC BD. 3、“ASA（AAS）”

例1. 由AB⊥BD,ED⊥BD,垂足分别为B、D点，点C在BD上，且BC=CD,点A、C、E在同一条直线

A上，求证：DE=AB.

F

例2. ABC和 DEF中，∠A=500, ∠B=300,AB=10, ∠B=500, ∠F=1000,DE=10,求证： ABC≌

DEF

变式题：如图, ∠ABC=∠DCB, ∠ACB=∠DBC,求证：AC=DB.

例3. 如图，在ΔAFD和ΔCEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个论断：（1）AD=CB,(2)AF=CE,(3) ∠B=∠D ,(4) AD∥BC.请用其中三个条件，余下一个作为结论，编一道数学题并写出解答过程.

例4. 如图，已知： BAC DAE, ABD ACE,BD CE. 求证：AD AE.

例5. 如图，两条直线AC,BD相交于O，BO=DO,AO=CO，直线EF过点O且分别交AB、CD于点E,F，求证：OE=OF

例6. 如图，已知： D E，DN CN EM AM. 求证：点B是线段AC的中点.

例7.如图，已知：AD//BC， 1 2， 3 4，直线DC过E点交AD于D，交BC于C.

求证：AD BC AB.

提升练习：

1、如图，已知： 1 2，AD AE.求证：OB OC.

CD FD. 2. 如图，已知： AD为 ABC的高，且AD BD，F为AD上一点，连结BF并延长交AC于E，

求证：BE AC

D3. 如图所示：在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90,E是BC的中点，EF⊥AB,垂足为F，且

（1）求证：BD=BC; （2）若BD=8cm，求AC的长.

C

4. 如图，在△ABC中，AC⊥BC,AC=BC,D为AB上一点，AF⊥CD交CD的延长线于F，BE⊥CD于

E.求证：EF=BE—AF

4、“HL”

例1. 如图，已知AB=CD，DE⊥AC,BF⊥AC,DE=BF，求证： …… 此处隐藏：2823字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……