第4章 傅里叶变换与系统的频域分析

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第四章 傅里叶变换和系统的频域分析

第四章4.14.2

傅里叶变换和系统的频域分析4.5 傅里叶变换的性质一、线性 二、奇偶性 三、对称性 四、尺度变换 五、时移特性 六、频移特性 七、卷积定理 八、时域微分和积分 九、频域微分和积分 十、相关定理

信号分解为正交函数周期信号的傅里叶级数

一、正交函数集 二、信号分解为正交函数

一、周期信号的分解 二、奇、偶函数的傅里叶级数 三、傅里叶级数的指数形式

4.3

周期信号的频谱

一、周期信号的频谱 二、周期矩形脉冲的频谱 三、周期信号的功率

4.4

非周期信号的频谱

4.6

能量谱和功率谱一、能量谱 二、功率谱

一、傅里叶变换 二、奇异函数的傅里叶变换

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第四章 傅里叶变换和系统的频域分析

第四章4.7

傅里叶变换和系统的频域分析4.10 序列的傅里叶分析一、周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 二、非周期序列的离散时间傅里叶 变换(DTFT)

周期信号的傅里叶变换一、正、余弦函数的傅里叶变换 二、一般周期函数的傅里叶变换 三、傅里叶系数与傅里叶变换

4.8

LTI系统的频域分析一、频率响应 二、无失真传输 三、理想低通滤波器的响应

4.11 离散傅里叶变换及其性质一、离散傅里叶变换(DFT) 二、离散傅里叶变换的性质

4.9

取样定理一、信号的取样 二、时域取样定理 三、频域取样定理

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第四章 傅里叶变换和系统的频域分析

傅里叶简介法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于 欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。 1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名 的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数 构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数 的无穷级数。 1822年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加 热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例 证之一，对19世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅 里叶分析等理论均由此创始。(傅里叶级数(即三角级数)、 傅里叶积分、傅里叶变换，这些统称为傅里叶分析。)其他贡 献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法 和实根个数的判别法等。第4-3页■

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4.1

信号分解为正交函数

时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，任意 输入信号

可分解为一系列冲激函数；而yf (t) = h(t)*f(t)。 本章将以正弦信号和虚指数信号e jωt为基本信号，任 意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指 数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域 分析。

4.1

信号分解为正交函数

一、矢量正交与正交分解矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义： 3 其内积为0。即 V xV y v xi v yi 0i 1

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4.1

信号分解为正交函数

由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集。如三维空间中，以矢量 vx=(2,0,0)、vy=(0,2,0)、vz=(0,0,2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。 例如对于一个三维空间的矢量A =(2,5,8),可以用 一个三维正交矢量集{ vx,vy,vz}分量的线性组合表示。 即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间：在信 号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得 信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。第4-5页■

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4.1

信号分解为正交函数

yy

C2 v yA0

C2 v y

A

C1vxx

x0

C3vzz(b) 空间矢量分解

C1vx

(a) 平面矢量分解

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4.1

信号分解为正交函数

二、信号正交与正交函数集1. 定义： 定义在(t1,t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足

t2

t1

1 (t ) 2 * (t ) d t 0 (两函数的内积为0)

则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1,t2)内正交。2. 正交函数集： 若n个函数 1(t), 2(t),…, n(t)构成一个函数集， 当这些函数在区间(t1,t2)内满足

第4-7页

t2 t1

i j 0, i (t ) j (t ) d t K i 0, i j*

则称此函数集为在区间(t1,t2)上的正交函数集。■

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信号与系统 电子教案 3. 完备正交函数集：

4.1

信号分解为正交函数

如果在正交函数集{ 1(t), 2(t),…, n(t)}之外， 不存在任何函数 (t)(≠0)满足

t2 t1

(t ) i (t ) d t 0

( i =1,2,…,n)

则称此函数集为完备正交函数集。 例如：三角函数集{1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,…} 和 虚指数函数集{ejnΩt,n=0,±1,±2,…}是两组典型的 在区间(t0,t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。

第4-8页

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4.1

信号分解为正交函数

三、信号的正交分解设有n个函数 1(t), 2(t),…, n(t)在区间(t1,t2) 构成一个正交函数空间。将任一

函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C1 1+ C2 2+…+ Cn n

问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在 区间(t1,t2)内为最小。通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误 差为：1 t 2 t12

t2 t1

[ f (t ) C j j (t )]2 d tj 1

n

第4-9页

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信号与系统 电子教案 2 Ci Ci

4.1

信号分解为正交函数

为使上式最小(系数Cj变化时),有

t2 t1

[ f (t ) C j j (t )]2 d t 0j 1

n

展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项 不为0,写为： t2 [ 2Ci f (t ) i (t ) Ci2 i2 (t )]d t 0 Ci t1 即： 2 t2 t1

f (t ) i (t ) d t 2Ci i2 (t ) d t 0

t2

所以系数 C i 第4-10页

t2 t1

t1

f (t ) i (t ) d tt2 t1

i2 (t ) d t■

1 Ki

t2 t1

f (t ) i (t ) d t

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