江苏八上寒假每日一题答案

如皋初级中学八年级数学每日一题答案

1．（2013 河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°． （1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2

如皋初级中学八年级数学每日一题故答案为：DE∥AC;S1=S2; (2)如图，∵△DEC 是由△ ABC 绕点 C 旋转得到， ∴BC=CE,AC=CD, ∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°, ∴∠ACN=∠DCM, ∵在△ ACN 和△ DCM 中， , ∴△ACN≌△DCM(AAS) , ∴AN=DM, ∴△BDC 的面积和△ AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等) , 即 S1=S2; (3)如图，过点 D 作 DF1∥BE,易求四边形 BEDF1 是菱形， 所以 BE=DF1,且 BE、DF1 上的高相等， 此时 S△ DCF1=S△ BDE; 过点 D 作 DF2⊥BD, ∵∠ABC=60°,F1D∥BE, ∴∠F2F1D=∠ABC=60°, ∵BF1=DF1,∠F1BD= ∠ABC=30°,∠F2DB=90°, ∴∠F1DF2=∠ABC=60°, ∴△DF1F2 是等边三角形， ∴DF1=DF2, ∵BD=CD,∠ABC=60°,点 D 是角平分线上一点， ∴∠DBC=∠DCB= ×60°=30°, ∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°, ∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°, ∴∠CDF1=∠CDF2, ∵在△ CDF1 和△ CDF2 中，

,

∴△CDF1≌△CDF2(SAS) , ∴点 F2 也是所求的点， ∵∠ABC=60°,点 D 是角平分线上一点，DE∥AB, ∴∠DBC=∠BDE=∠ABD= ×60°=30°, 又∵BD=4, ∴BE= ∴BF1= , ,BF2=BF1+F1F2= 或 . + = ,

故 BF 的长为

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2. (2013 昭通)已知△ ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点(点 D 不与 B、C 重合) ,以 AD 为边作 菱形(四边相等)ADEF(A、D、E、F 按逆时针排列) ,使∠DAF=60°,连接 C

F. (1)如图 1,当点 D 在边 BC 上时，求证：①BD=CF;②AC=CF+CD; (2)如图 2,当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出 AC、 CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图 3,当点 D 在边 CB 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出 AC、CF、CD 之间存在的数 量关系.

解答： (1)证明：∵菱形 AFED, ∴AF=AD, ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC=BC,∠BAC=60°=∠DAF, ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC, 即∠BAD=∠CAF, ∵在△ BAD 和△ CAF 中 ， ∴△BAD≌△CAF, ∴CF=BD, ∴CF+CD=BD+CD=BC=AC, 即①BD=CF,②AC=CF+CD. (2)解：AC=CF+CD 不成立，AC、CF、CD 之间存在的数量关系是 AC=CF﹣CD, 理由是：由(1)知：AB=AC=BC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=60°, ∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC, 即∠BAD=∠CAF, ∵在△ BAD 和△ CAF 中 ， ∴△BAD≌△CAF, ∴BD=CF, ∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC,

如皋初级中学八年级数学每日一题即 AC=CF﹣CD. (3)AC=CD﹣CF.理由是： ∵∠BAC=∠DAF=60°, ∴∠DAB=∠CAF, ∵在△ BAD 和△ CAF 中 ， ∴△BAD≌△CAF(SAS) , ∴CF=BD, ∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC, 即 AC=CD﹣CF.

3. (2012 烟台) (1)问题探究 如图 1, 分别以△ ABC 的边 AC 与边 BC 为边， 向△ ABC 外作正方形 ACD1E1 和正方形 BCD2E2, 过点 C 作直线 KH 交直线 AB 于点 H,使∠AHK=∠ACD1 作 D1M⊥KH,D2N⊥KH,垂足分别为点 M,N.试探究线段 D1M 与线段 D2N 的数量关系，并加以证明. (2)拓展延伸 ①如图 2,若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点 C 作直线 K1H1,K2H2,分别交直线 AB 于点 H1,H2, 使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1.作 D1M⊥K1H1,D2N⊥K2H2,垂足分别为点 M,N.D1M=D2N 是否仍成立？若 成立，给出证明；若不成立，说明理由. ②如图 3,若将①中的“正三角形”改为“正五边形”,其他条件不变.D1M=D2N 是否仍成立？(要求：在图 3 中补 全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)

解答： (1)D1M=D2N.�� 证明：∵∠ACD1=90°, ∴∠ACH+∠D1CK=180°﹣90°=90°, ∵∠AHK=∠ACD1=90°, ∴∠ACH+∠HAC=90°, ∴∠D1CK=∠HAC, 在△ ACH 和△ CD1M 中，

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况 探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

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（2）特例启发，解答题目

如皋初级中学八年级数学每日一题在四边形 EOFP 中， ∵∠AOB=60°,∠PEO=∠PFO=90°, ∴∠EPF=120°,即∠EPC+∠CPF=120°. 又∠CPD=120°,即∠DPF+∠CPF=120°. ∴∠EPC=∠DPF. ∴△EPC≌△FPD. ∴PC=PD, ∴∠PDC= ∵∠AOB=60°, ∴∠PDC= ∠AOB, 6. (2010 台州)如图 1,Rt△ ABC≌Rt△ EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°.△ EDF 绕着边 AB 的中点 D 旋转， DE,DF 分别交线段 AC 于点 M,K. (1)观察：①如图 2、图 3,当∠CDF=0°或 60°时，AM+CK = MK(填“>”,“<”或“=”) ; ②如图 4,当∠CDF=30°时，AM+CK > MK(只填“>”或“<”) ; (2)猜想：如图 1,当 0°<∠CDF<60°时，AM+CK > MK,证明你所得到的结论； (3)如果 MK +CK =AM ,请直接写出∠CDF 的度数和2 2 2

=30°.

的值.

解答： 解： (1)①在 Rt△ ABC 中，D 是 AB 的中点， ∴AD=BD=CD= ,∠B=∠BDC=60°

又∵∠A=30°, ∴∠ACD=60°﹣30°=30°, 又∵∠CDE=60°,或∠CDF=60°时， ∴∠CKD=90°, ∴在△ CDA 中，AM(K)=CM(K) ,即 AM(K)=KM(C) (等腰三角形底边上的垂线与中线重合) , ∵CK=0,或 AM=0, ∴AM+CK=MK; (2 分) ②由①,得 ∠ACD=30°,∠CDB=60°, 又∵∠A=30°

,∠CDF=30°,∠EDF=60°, ∴∠ADM=30°, ∴AM=MD,CK=KD, ∴AM+CK=MD+KD, ∴在△ MKD 中，AM+CK>MK(两边之和大于第三边) . (2 分) (2)>(2 分) 证明：作点 C 关于 FD 的对称点 G, 连接 GK,GM,GD, 则 CD=GD,GK=CK,∠GDK=∠CDK, ∵D 是 AB 的中点，∴AD=CD,

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？

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（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

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∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°, ∴∠B=∠ADF. ∵AB=AD, ∴△ABG≌△ADF. ∴∠BAG=∠DAF,AG=AF. ∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD =∠EAF= ∠BAD. ∴∠GAE=∠EAF. ∵AE=AE, ∴△AEG≌△AEF. ∴EG=EF ∵EG=BE﹣BG ∴EF=BE﹣FD. 8. (2009 沈阳) 将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图①方式摆放， 其中∠ACB=∠DEB=90°, ∠A=∠D=30°, 点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F. (1)求证：AF+EF=DE; (2)若将图①中的△ DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 α,且 0°<α<60& …… 此处隐藏：4654字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……