空间与角有关问题的训练

空间与角有关问题的训练

1、如图，已知三棱锥O ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA 1，OB OC 2，E是OC的中点．

（1）求O点到面ABC的距离； （2）求异面直线BE与AC所成的角； Ａ

（3）求二面角E AB C的大小．

Ｏ

Ｂ

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，AB AC，PA 平面ABCD，且PA AB，点E是PD的中点.

（Ⅰ）求证：AC PB；

（Ⅱ）求证：PB//平面AEC； （Ⅲ）求二面角E AC B的大小. 解：（1）由PA 平面ABCD可得PA AC

又AB AC，所以AC 平面PAB，所以

AC PB

（2）如图，连BD交AC于点O，连EO，则 EO是△PDB的中位线， EO//PB PB//平面AEC

（3）如图，取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线， EF//PA又PA 平面ABCD， EF 平面ABCD

同理FO是△ADC的中位线， FO//AB FO AC由三垂线定理可知 EOF是二面角E－AC－D的平面角.又FO＝

1AC B2

AB＝

12

PA＝EF EOF＝45 而二面角E 与二面角E－AC

－D互补，故所求二面角E AC B的大小为135 . 55．（福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、 BC的中点,CA=CB=CD=BD=2 （Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小； （Ⅲ）求点E到平面的距离.

本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所 A

成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象 能力、逻辑思维能力和运算能力。 M

方法一： （I）证明：连结OC

O

BO DO,AB AD, AO BD. B

E

C

BO DO,BC CD, CO BD.

在

AOC中，由已知可得AO 1,CO 而AC 2, AO2 CO2 AC2,

BD OC O,

o

AOC 90,即AO OC.

AO 平面BCD

（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

在 OME中，

EM

12

AB

2

OE

12

DC 1,

12

OM是直角 AOC斜边

4

AC上的中线， OM

4

AC

1,

cos OEM 异面直线AB与CD

所成角的大小为arccos

（III）解：设点E到平面ACD的距离为h. VE ACD VA CDE,

13

h.S ACD

13

.AO.S CDE.

在

ACD中，CA CD 2,AD

S ACD

12

2

而AO 1,S CDE

12

4

2

2

2

h

AO.S CDE

S ACD

1

2

7

点E到平面ACD

的距离为

7

方法二： （I）同方法一。

（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),D( 1,0,0),

1

0),BA ( 1,0,1),CD ( 1,0).

C0),A(0,0,1),E(,

22

BA.CD cos BA,CD

4BACD

异面直线AB与CD

所成角的大小为arccos

4

y

（III）解：设平面ACD的法向量为n (x,y,z),则

n.AD (x,y,z).( 1,0, 1) 0, x z 0,

z 0. n.AC (x,y,z 1) 0,

令y

1,得n (是平面ACD的一个法向量。

EC.n 1又EC ( 0), 点E到平面ACD的距离

h 22n

7