10 第八节 洛必达法则

福大,微积分,洛必达法则

第八节 洛必达法则一、未定式0 二、 型未定式 0 ∞ 三、 型未定式 ∞0 四、 ∞ , ∞ ± ∞ , 00 , 1∞ , ∞ 0 型未定式

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函数之商的极限 转化 洛必达法则 导数之商的极限

(

或

型)

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一、未定式1. 若 lim f ( x ) = 0, lim g ( x ) = 0,x → x0 x → x0

0 f ( x) 则称 lim 为 型未定式 . x→ x0 g ( x ) → 0

tan x , 例如: 例如 lim x→0 → x

2. 若 lim f ( x ) = ∞ , lim g ( x ) = ∞ , f ( x) ∞ 则称 lim 为 型未定式 . x→ x0 g ( x ) → ∞3. 若 lim f ( x ) = 0, lim g ( x ) = ∞ ,x → x0 x → x0

x → x0

x → x0

tan x , 例如: π 例如 lim x → tan 3 x2

则称 lim f ( x ) g ( x ) 为 0 ∞ 型未定式 . x → x0 例如: 例如 lim+ x ln x ,x →0

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4. 若 lim f ( x ) = ∞ , lim g ( x ) = ∞ , 则称 lim [ f ( x ) g ( x )] 为 ∞ ∞ 型未定式 .x → x0 x → x0 x → x0

1 1 5. 若 lim f ( x ) = 1, lim g ( x ) = ∞ , 例如 lim( x ), 例如: x → x0 x → x0 x →0 x e 1 则称 lim [ f ( x )]g ( x ) 为 1∞ 型未定式.x → x0

6. 若 lim f ( x ) = 0, lim g ( x ) = 0, 例如 lim(cos x ) , 例如: x→ x x→ x0 0

1 x

x →0

则称 lim [ f ( x )]g ( x ) 为 00 型未定式.

7. 若 lim f ( x ) = ∞ , lim g ( x ) = 0,x → x0 x → x0 x → x0

x → x0

例如: 例如 lim x sin x ,x →0

则称 lim [ f ( x )]g ( x ) 为 ∞ 0 型未定式.

1 tan x 例如: 例如 lim+ ( ) . x→0 x

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0 二、 型未定式 0定理1 设 f ( x ) , g ( x ) 在 U( x0 )内可导, g′( x ) ≠ 0, 且有 : 定理1o

(1) lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 ; f ′( x ) ( 2) lim 存在或为 ∞ , x → x 0 g ′( x ) f ( x) f ′( x ) 则有： 则有： lim . = lim x → x0 g ( x ) x → x 0 g ′( x )这种在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极 洛必达法则. 限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.x → x0 x → x0

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sin x sin a . 例1 求 lim x→a x a解 原式 = limx→a →

0 ( 型) 0

cos x

1

= cosa .

xn an . 例2 求 lim x →a x a

0 ( 型) 0

nx n 1 原式 = lim = na n 1 . 解 x→a → 1

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几点说明: 几点说明

(1) 将x → x0 换成x → x0 , x → x0 , 及 x → ∞ , x → +∞ , x → ∞ 该法则仍然成立 .1 ln(1 + ) x . 例3 求 lim x → ∞ arccot x解0 ( 型) 0

+

x 1 ( 2 ) x2 + 1 1+ x x = lim = 1. 原式 = lim 2 x →∞ x + x x →∞ 1 1 + x2

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几点说明: 几点说明

(1) 将x → x0 换成x → x0 , x → x0 , 及 x → ∞ , x → +∞ , x → ∞ 该法则仍然成立 . f ′( x ) 0 ( 2) 若 lim 仍为 型未定式 , 且 f ′( x ) , g′( x ) x → x 0 g ′( x ) 0满足定理中 f ( x ), g ( x )所满足的条件 , 则可继续使用 洛必达法则 , 即 f ( x) f ′( x ) f ′′( x ) lim . = lim = lim x → x0 g ( x ) x → x0 g ′( x ) x → x0 g′′( x )并且可以依次类推, 直到求出所要求的极限为止. 并且可

以依次类推 直到求出所要求的极限为止.

+

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x3 3x + 2 . 例4 求 lim 3 2 x →1 x x x + 1

0 ( 型) 0

0 3 x2 3 ( 型) 解 原式 = lim 2 x →1 3 x 2 x 1 0 6x 不是未定式, 不是未定式,不能 = lim x →1 6 x 2 用洛必达法则 3 = . 2 注意：每一步都要验证定理条件. 注意：每一步都要验证定理条件 6x 6 lim ≠ lim 6 = 1 x →1 6 x 2 x →1

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定理2 定理2 设 f ( x ) , g ( x ) 在 U( x0 )内可导, g′( x ) ≠ 0, 且有 :

∞ 三、 型未定式 ∞

o

(1) lim f ( x ) = ∞ , lim g ( x ) = ∞ ; f ′( x ) ( 2) lim 存在或为 ∞ , x → x 0 g ′( x ) f ( x) f ′( x ) 则有： 则有： lim . = lim x → x0 g ( x ) x → x 0 g ′( x )几点说明: 几点说明 (1) 将x → x0换成x → x0 , x → x0 ,+ x → x0 x → x0

及 x → ∞ , x → +∞ , x → ∞ 法则仍然成立 .

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f ′( x ) ∞ ( 2) 若 lim 仍为 型未定式 , 且 f ′( x ) , g′( x ) 满足 x → x 0 g ′( x ) ∞ 定理中 f ( x ), g ( x )所满足条件 , 则可继续用洛必达法则 , f ( x) f ′( x ) f ′′( x ) 即 lim . = lim = lim x → x0 g ( x ) x → x 0 g ′( x ) x → x0 g ′′( x )并且可以依次类推,直到求出所要求的极限为止. 并且可以依次类推,直到求出所要求的极限为止.

ln(1 + e x ) 例5 求 lim . 2 x → +∞ 1+ x ex 解 1+ ex 原式 = lim xx → +∞

∞ ( 型) ∞

1 + x2

1 = = 1. 1

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ln x 例6 求 lim µ , ( µ > 0). x → +∞ x 1x

∞ ( 型) ∞

1 = lim 解 原式 = lim µ =0. µ 1 x → +∞ µ x x → +∞ µ x ∞ xn 例7 求 lim x ( n ∈ N ). ( 型 ) ∞ x → +∞ e解

nx 原式 = lim x → +∞ ex

n( n 1) x = lim x → +∞ ex n! L =L = lim x = 0 . x → +∞ en 1

n 2

例6, 例7 表明当 x→+∞ 时, ln x , → ∞ 后者比前者趋于+∞ 后者比前者趋于 ∞更快 .

ex

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注：洛必达法则是求未定式的一种有效方法,计算过 洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 程中若能与其它求极限的方法结合使用, 效果更好. 程中若能与其它求极限的方法结合使用 效果更好.0 tan x x . ( 型) 例8 求 lim 2 x → 0 x tan x 0 tan x x 解 原式 = lim x→0 x3

sec 2 x 1 tan 2 x 1 x2 = lim = lim = lim 2 = . 2 x →0 x→0 3 x 2 → x→0 3 x → 3x 3(能化简时应尽可能先化简 可以应用等价无穷小替换 能化简时应尽可能先化简, 能化简时应尽可能先化简 或重要极限时, 应尽可能应用, 以使运算尽可能简捷.) 或重要极限时 应尽可能应用 以使运算尽可能简捷

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应用洛必达法则注意事项: 应用洛必达法则注意事项0 达法则求极限, 达法则求极限 其他型未定式要先恒等变形化为 0 ∞ 后才能用洛必达法则. “ 型”或“ 型”后才能用洛必达法则 ∞

0 1、 只有“ 、 只有“ 0

∞ 型”与∞ “

型”未定式才可用洛必

2、应用洛必达法则求极限时,若出现乘积因式

极限存 、应用洛必达法则求极限时 若出现 若出现乘积因式极限存 在且不为0, 可把此因子提取出, 在且不为 可把此因子提取出 对余下的未定式应用 洛必达法则. 洛必达法则 3、 洛必达法则可连续用 但一定要步步检查 、 洛必达法则可连续用, 一定要步步检查, …… 此处隐藏：3191字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……