自动控制原理第四章.黄坚第二版

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精品课程

自动控制理论

26/4/2009

http://172.25.13.150/

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第四章 根轨迹分析法

第四章 根轨迹分析法第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的基本方法 第三节 广义根轨迹 第四节 用根轨迹法分析系统性能 第五节 MATLAB用于根轨迹分析

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第四章 根轨迹分析法

第一节 根轨迹的基本概念当系统的某个参数变化时，特征方程的根 随之在 S平面上移动，系统的性能也跟着变化。 研究S 平面上根的位置随参数变化的规律及其与 系统性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。

一、根轨迹 二、根轨迹方程

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第一节 根轨迹的基本概念

一、根轨迹

设系统的结构如图 Kr变化时,闭环特征 变化时 闭环特征 极点； Kr 根在s平面上的轨迹 平面上的轨迹: 极点；右半平面为 根在 平面上的轨迹 C(s) 2 s1 Kr 不稳定极点； s2 不稳定极点；虚轴 R(s) =s∞+2s+Kr ω j ↑ -2 0 0 上为临界极点。 上为临界极点。 闭环特征方程式 Kr 1 -1 -1 1 2+2s+K = 0 (2) 0<Kr<1时，系统 时 s 2 Kr=0 1r s1 s -1-j -1+j 2 0 σ -1 有呈过阻尼状态。 有呈过阻尼状态。 -2 特征方程的根 -1 -1+j∞ 系统 Kr (3) 当Kr=1时，-1-j∞ 时 ∞ s1.2 =-1± 1-Kr ∞ 呈临界阻尼状态 。 得相应的闭环特征根值: 得相应的闭环特征根值 (4) 1<Kr<∞时，系统呈欠阻尼状态。 时 系统呈欠阻尼状态。↑↑

从根轨迹可知: 从根轨迹可知 R(s) Kr C(s) - s(s+2) (1)左半平面为稳定 左半平面为稳定

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第一节 根轨迹的基本概念

*根轨迹法的基本思路 根轨迹法的基本思路: 根轨迹法的基本思路 *根轨迹法的分析手段 根轨迹法的分析手段: 根轨迹法的分析手段闭环特征方程的根的位置与系统的 性能是密切相关的， 性能是密切相关的，当系统的某个参数 利用根轨迹法来分析和设计系统，首 发生变化时， 发生变化时，特征方程的根在平面上的 先必须绘制出系统的根轨迹图，而采用求 位置以及系统的性能将随之而变. 位置以及系统的性能将随之而变 解方程根的方法来绘制高阶系统的根轨迹 图显然是难以实现的，必须找到一种方便、 *根轨迹的定义 根轨迹的定义: 根轨迹的定义 有效的作图方法。作图方法的依据就是根 系统的一个或多个参数由零变到无 穷大时，闭环特征方程的根在S平面上 穷大时，闭环特征方程的根在 平面上 轨迹方程。 移动的轨迹。 移动的轨迹。

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第一节 根轨迹的基本概念

二、根轨迹方程根轨迹方程为 设系统的结构如图 -m 当s 满足相角方程时， m 系统闭环传递函数为 必然能找到一个Kr值，使 H(s) Kr i =1 (s-zi) Kri =1(s-zi) n =1 G(s) C(s) 得该 s 满足幅值方程。 =-1 n 开环传递函数零点 (s-p =1+G(s)H(s) 根轨迹增益 j) (s-pj) R(s)=1 j =1 m j mK r (s-zi) 所有满足相角

方程的s G(s)H(s)= n i =1 开环传递函数的 满足开环传递函 根轨迹方程又可 Kr i =1 (s-zi) 1 构成了闭环特征方程式 (s-pj) K n = 或 一般表达式为 数等于-1 数等于 的 s 即为 j =1 r 分解为幅值方程和 (s-pj) 根的轨迹。 j =1 相角方程 闭环特征方程式的 开环传递函数极点 闭环特征方程式为 相角方程。 相角方程。 n m 根 1+G(s)H(s)=0 G(s)H(s)=-1 即 π K=(0,1,2…) (s-zi ) ∑ 。 即 ∑ (s-pj)=±(2k+1) i =1 j =1R(s) 幅值方程 C(s) G(s)

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第一节 根轨迹的基本概念 例 已知系统的开环传递函数，根据相角方程确 定系统的根轨迹图。 Kr 开环零、极点分布为： 解：开环零、极点分布为： 该系统的相角方程为： 该系统的相角方程为：

G(s)= s(s+2)ω j

-∑ (s–pj) =±(2k+1) πj =1

2

p2 θ2 -2

s1

p1 θ1 0 σ

设实轴上任意点s 设实轴上任意点 12

s1与开环零、极点之间的矢量： 与开环零、 与开环零

s1的相角方程为： -∑ (s1–pj) =- 1θ 2 =-180º 的相角方程为： θ j =1 s1为根轨迹上的点。 p1~p2 为根轨迹段。 为根轨迹上的点。 为根轨迹段。

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第一节 根轨迹的基本概念 设复平面开环极点中线上任意点s 设复平面开环极点中线上任意点 2 s2与开环零、极点之间的矢量： 与开环零、极点之间的矢量： 与开环零 s2的相角方程为： 的相角方程为s2 p2 θ 2 -2 θ2

ω jθ1p1 0 σ

-∑ (s2–pj)=- 1θ θ j =1

2

2

θ1s3

=- 1 -(180o-θ )=-180º θ 1中线上的点都是根轨迹上的点。j =1

设任意点s 设任意点 3 2 s3的相角方程为： -∑ (s3–pj) =- 1θ 2 >-180º 的相角方程为 θ 根据相角方程得系 统的根轨迹为： 统的根轨迹为：

s3 不是根轨迹上的点。

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第一节 根轨迹的基本概念

作业习题： 作业习题：

4-2 4-3 4-7

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第四章 根轨迹分析法

第二节 绘制根轨迹的基本方法根据根轨迹方程，无需对闭环特征方程式 求解，只需寻找所有满足相角方程的 s ,便可 得到闭环特征方程式根的轨迹。同时，可由幅 值方程来确定根轨迹所对应的Kr值。 根据根轨迹的基本特征和关键点，就能比较 方便地近似绘制出根轨迹曲线。 根轨迹基本特征为以下八条： 根轨迹基本特征为以下八条：

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第二节 绘制根轨迹的基本方法

一、根轨迹的对称性和分布性 二、根轨迹的起点和终点 三、实轴上的根轨迹段 四、根轨迹的渐近线 五、根轨迹的分离点和会合点 六、根轨迹的出射角和入射角 七、根轨迹与虚轴的交点 八、开环极点与闭环极点的关系

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第二节 绘制根轨迹的基本方法

一、根轨迹的对称性和分布性1.根轨迹对称于实轴 .jω

2. 闭环特征方程实数根 n阶系统有 条根轨迹 阶系统有n条根轨迹 阶系统有 分布在 平面的实轴上。 分布在S 平面的实轴上。 Kr取某

一数值时 阶特征方 取某一数值时,n阶特征方 取某一数值时 复数根则成对出现， 复数根则成对出现，实 程有n个确定的根 程有 个确定的根。

s3 s10

s5 s2

σ

s4

部相等， 每一个根由始点连 部相等，虚部大小相等符 Kr=0→∞每一个根由始点连 号相反。 号相反。 续地向其终点移动，形成一条根轨迹， n个根形 续地向其终点移动，形成一条根轨迹， 个根形 根轨迹必定对称于实轴 必定对称于实轴。 根轨迹必定对称于实轴。 条根轨迹。 成n条根轨迹。 条根轨迹

s6

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