高二数学 双曲线及其标准方程 ppt课件

y

. F

1

o

. F

2

x

y

. F

1

o

. F

2

x

问题1:椭圆的定义是什么？ 平面内与两个定点F1,F 2的距离的和等于常数(大于 |F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆。 问题2:椭圆的标准方程是怎样的? a,b,c关系如何？ 2 2 x2 y 2 y 2 x2 2 1(a b 0)或 2 2 1(a b 0) 2 a b a b

a b c

2

问题3:如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的 差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？

1.双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2 的距离的差的绝对值等于 常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

M

双曲线 (1)当0<a<c时，表示 ______ 射线 (2)当a=c>0时，表示______ (3)当a>c>0时， 不存在 ______ 垂直平分线 (4)当a=0时，表示__________

|MF1|-|MF2|=2a(a>0) |MF1|-|MF2|=-2a(a>0)

MF1 MF2 2a F1 F2 2c

2.标准方程的推导

y

① 建系使x轴经过两焦点F1,F2 , y 轴为线段 F1F2 的垂直平分线。 F1

MF2

② 设点设 M(x,y)是双曲线上任一点，

O

x

焦距为2c(c>0) 那么 焦点F1(-C,0) ,F2(C,0) 又设点 M 与F1’F2 的差的绝对值等于常数 2a 。

③ 列式 MF1 MF2 2a即

( x c) y ( x c) y 2a2 2 2 2

移项平方得：(x c) y2

2

2a (x c) y 2 2 2

2

即：cx a a (x c) y2 2

2

平方得：(c a )x a y a (c a )2 2 2 2 22

2

2

2

令c a b 得b x a y a b2 2 22 2 22 两边除以 a 2b ,得

2 2

x 2 a

2

y2 2 b

( a 0 , b 0 ) 1

这个方程叫做双曲线的标准方程。它所表示的是焦点在x 轴上

F1 ( c,0), F2 (c,0) c 2 a 2 b 2 .

焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是什么？MO

y F2 (0, c)

xF1 (0,-c)

y x 1 ( a 0 , b 0 ) 2 2 a b

2

2

3.两种标准方程的比较

x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b

2

2

y x 2 1(a 0, b 0) 2 a b

2

2

① 方程用“-”号连接,等号右边为1. ② 分母是 a2,b2,a>0,b>0 , 但a,b 大小不定③

b c a2 2

。

2

④哪个平方项的系数为正，焦点就在哪个轴上。

判断下列方程是否表示双曲线？若是求出 a,b,c方程形式 标准方程形式 焦点位置

a

b

c

x2 y 2 x2 y2 1 2 1 2 4 2 2 ( 2)x y 1 2 22 2

x轴

2

2

6

2 2 2

x2

y2

2

1

x轴y轴

22m

2

26m n

x y 1 4 2

2

2

y2

x2 2 1 2 2 2

2n

2 2 x2 y2 x y 1 2 1 m n 2 n (m 0, n 0) m

x轴

(1)先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。x2 y 2 1(m n 0) 是否表示双曲线？ ( 2) m n

m 0 n 0 m 0 n 0

表示焦点在

x 轴上的双曲线；y轴上的双曲线。

表示焦点在

x2 y2 1 表示双曲线，求 k的范围。 k 3 k 2

答案：

2 k 3

1、已知双曲线两焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双 曲线上的一点P 到F1,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲 线的标准方程。 解：因为双曲线的焦点在轴 X上，所以设它的标准方程为

x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b

2

2

2a 6,2c 10.即a 3, c 5 b 5 3 4 162 2 3 2

因此，双曲线的标准方程为

x2 y 2 1 9 16

小结：求标准方程要做到先定型，后定量。

1. 已知双曲线两个焦点分别为 F1(0,-5) ,F2(0,5) ,双曲线上一点 p 到 F1 ,F2 距离

差等于8,求双曲线的标准方程。

看看你做对了吗？

PO

y F2 (0, 5) x F1 (0,-5),

y x 1(y >0) 16 9

2

2

求双曲线的方程：1、a = 4 , b = 3 ,焦点在x轴上。

x y 1 16 92、焦点在y轴上，焦距为12,且过(2,-5)。

2

2

y x 1 20 16

2

2

双曲线定义 图象(-c,0) ||MF1|-|MF2||=2ay M

椭圆|MF1|+|MF2|=2ay

M

F12

0

F2x

(c,0)

F1 (-c,0)

0

x F2 (c ,0)

方 程 x2

y 2 1(a 0, b 0) 2 a b

x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b

a,b,c a>0,b>0,b2=c2-a2 的关系

a>b>0,b2=a2-c2

课本120页

习题8.3

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