福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2019-2020学年高二第一

福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2019-2020学年高二第一

学期期末考试试题 数学【解析版】

一、单项选择题：每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的.

1.已知空间向量()1,2,31a λμ=+-，()6,2,0b λ=共线，则实数λ的值是（ ）

A. -3

B. 2

C. -3或2

D. 3或-2

【答案】C

【解析】

【分析】

由向量共线定理求解．

【详解】由题意存在实数k ，使得a kb =，即(1,2,31)(6,2,0)k λμλ+-=， ∴1622310k k λλμ+=??=??-=?，解得21213k λμ??=??=???=??或31313k λμ??=-??=-???=??

． 故选：C.

【点睛】本题考查空间向量共线，掌握空间向量共线定理是解题基础．

2.设()f x 是可导函数，且()()000lim

2x f x f x x x ?→--?=?，则()0f x '=（ ） A. 2

B. -1

C. 1

D. -2 【答案】A

【解析】

【分析】

根据导数的定义求解．

【详解】()()()0000000[()]lim

lim ()2x x f x f x x f x x f x f x x x

?→?→--?+-?-'===?-?． 故选：A.

【点睛】本题考查导数的定义，()(

)0000

()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?，注意极限中形式的一致性． 3.正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1DD 的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱11A B 上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是（ ）

A. 4π

B. 3π

C. 2π

D. 与P 点的位置有关

【答案】C

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，用向量法求解．

【详解】如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则 (2,0,0),(0,0,1),(1,1,0)A M O ，设(2,,2)P m ，

(2,0,1),(1,1,2)AM OP m =-=-，

∴210(1)120AM OP m ?=-?+?-+?=，∴AM OP ⊥，即AM OP ⊥．

∴直线OP 与直线AM 所成的角为

2

π． 故选：C.

【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是建立空间直角坐标系，用空间向量法求解．

4.已知正四面体D ABC -的各棱长为1，点E 是AB 的中点，则EC AD ?的值为（ ）

A. 14

B. 14-

C. 34

D. 34

- 【答案】A

【解析】

【分析】

把EC 表示为AC AE -，然后再求数量积．

【详解】由题意，四面体D ABC -是正四面体，每个面都是正三角形，

∴EC AD ?()AC AE AD AC AD AE AD =-?=?-?1111cos601cos6024=???-

???=． 故选：A.

【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是把EC 表示为AC AE -，然后计算即可．

5.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1AB 与平面11ABC D 所成角的正弦值为（ ）

A. 25

B. 25

C. 105

D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】

做出线面角，在直角三角形中解角的正弦值.

【详解】

做11B H BC ⊥于H 点，连接AH ，因为1AB CB ⊥面，1AB B H ∴⊥，又因为111,B H BC BC AB B ⊥?=，111B H ABC D ∴⊥面，根据线面角的定义得到1B AH ∠为所求角，在11BB C 中，1111,2,BB B C ==由等面积法得到15

B H =15AB ，线面角的正弦值为：112.5HB AB =

故答案为B.

【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的求法．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．

6.函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ） A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8,081f e e =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选D

7.若函数()()sin x f x e

x a =+在[]0,π上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,-+∞

B. ()1,+∞

C. )2,?-+∞?

D. [

)1,+∞ 【答案】D

【解析】

分析】 ()0f x '≥在[]0,π恒成立，再转化为求函数最值． 【详解】()(sin cos )[2)]4x x f x e x a x e x a π'=++=+

+， 由题意[2)]04x e x a π++≥在[0,]x π∈恒成立，即2)4a x π

≥-+在[0,]x π∈恒成立， [0,]x π∈时，5[,]444x πππ+

∈，2sin()[42x π+∈-， 所以22)14x π

-≤

+≤， 所以1a ≥．

故选：D.

【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，函数在区间[]0,π上单调递增，转化为()f x '

0≥在区间[]0,π上恒成立，不等式恒成立又可转化为求函数最值．本题对学生的转化与化归能力有一定的要求．

8.在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 的顶点坐标分别是()0,0,2A ，()2,2,0B ，()1,2,1C ，()2,2,2D .则点B 到面ACD 的距离是（ ） 233 C. 223 D. 23

【答案】A

【解析】

【分析】

求出平面ACD 的一个法向量n ，再求出BD 在n 方向上的投影的绝对值即可．

【详解】由题意(2,2,0),(1,0,1),(0,0,2)AD CD BD ===,

设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则

2200

n AD x y n CD x z ??=+=??=+=?，取1x =，则(1,1,1)n =--， ∴2233BD n

n ?-==，即B 到平面ACD 23． 故选：A.

【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离．设n 是平面α的一个法向量，Q 是平面α内任一点，则P 到平面α的距离是PQ n

n ?．

9.已知函数()22,02,0

x x x a x f x ae x a x ?++<=?--≥?恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）

A. (][),01,-∞?+∞

B. (](),01,-∞+∞

C. (]{},01-∞

D. (],0-∞

【答案】C

【解析】

【分析】

分别讨论0x <时，2()2f x x x a =++的零点个数，0x ≥时，()2x f x ae x a =--的零点个数，综合后

可得结论．

【详解】0x ≥时，()2x f x ae x a =--，()1x f x ae '=-， (0)f a =-，

当0a ≤，()0f x '≤，()f x 递减，(0)0f a =-≥，(ln 2)ln 20f =-<，因此()f x 在[0,)+∞上有且只有一个零点．

当1a ≥时，()0f x '≥，()f x 递增，(0)0f a =-<，(ln 4)2ln 40f a =->，因此在()f x 在[0,)+∞上有且只有一个零点，

01a <<时，，1()1()x x f x ae a e a '=-=-，1(ln )0f a '=，1[0,ln )x a ∈时，()f x 递减，1(ln ,)x a

∈+∞时，()f x 递增，(0)0f a =-<， x →+∞时，2x ae x a --→+∞，()f x 在[0,)+∞上有一个零点， ∴a R ∈，()f x 在[0,)+∞上有一个零点，

0x <时，22()2(1)1f x x x a x a =++=++-，

若0a ≤或1a =，()f x 有一个零点，若1a >，()f x 无零点，若01a <<，()f x 有两个零点． 因此满足题意的a 的取值范围是 (,0]{1}-∞

故选：C.

【点睛】本题考查函数的零点个数，对分段函数来讲要分段讨论，对于复杂的函数一般可通过导数研究函数的单调性与最 …… 此处隐藏：9636字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……