竞赛课件19：电阻等效方法ABC

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对称法对具有一定对称性的电路,通过对等势点的拆、合，对 称电路的“折叠”,将电路简化为基本的串并联电路。

电流叠加法

直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所 有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流 分布，总可归结为只含某一个直流电源的电路电流分布.这就 是电流的可叠加性.对于一些并不具备直观的对称性的电路， 可根据电流的可叠加性，重新设置电流的分布方式，将原本不 对称问题转化成具有对称性的问题加以解决 。

Y-△变换法

利用Y型联接电阻与△型联接电阻间等价关系的结论，通 过电阻Y型联接与△型联接方式的互换，达到简化电路成单纯 串联或并联的目的.

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解: AC间等效电阻:则 RAC

如图所示，12个阻值都是R的电阻，组成一立 方体框架，试求AC间的电阻RAC 、AB间的电阻RAB与AG间的电阻 RAG. F E A B

专题19-例1

3R R 3 R 3R R 4A

H B

G C

D

F

EH

G

C

D

续解

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AB间等效电阻: A R H 2 R 2 D R R 2.5 R 7 则 RAB R R 12 A 2R 2 R R E 2.5 R HD

E B

F G C

BR 2

F G

R

C 续解

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AG间等效电阻:

EA

F

B

H

G C

则 RAG

5 R 6E AR 3

D

F BR 6

H

R 3

G

D

C

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如图所示的正方形网格由24个电阻r0=8Ω的电阻 丝构成，电池电动势ε=6.0 V,内电阻不计，求通过电池的电流.

专题19-例2

解:RAB

电源外电路等效电阻:r0 2.5r0 5 40 r0 2.5r0 r0 7 7

B A

r 0 2

通过电源的电流由

6.0 I A 1.05A RAB 40 / 7

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专题19-例3 波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形.他

将如图1所示的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边长平分为二，再把平分点连 起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉， 得到如图2的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，经 过第二次分割就得到图3的图形.经三次分割后，又得到图4的图形.这是带有自 相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫.它的自相似性就是将其中 一个小单元(例如图4中的△BJK)适当放大后，就得到图2的图形.如果这个分 割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空.AA A A D 图1 图2 D 图3 D 图4 K E E E G 数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为“分 B C B C l0 B B C C IJF F F 形几何学”的新学科.近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和方法 用于有关的物理领域，取得了有意义的进展. 我们现在就在这个背景

下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的 等效电阻问题：设如图1所示的三角形ABC边长L0的电阻均为r;经一次分割得到 如图2所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r 的二分之一；经二次分割得到如图3所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是 原三角形ABC的边长的电阻r的四分之一；三次分割得到如图4所示的图形，其中 每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的八分之一. ⑴ 试求经三次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻. ⑵ 试求按此规律作了n次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻

解答

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解:

2 R0 r 3 对分割一次后的图形 5 5 2 R1 r r 9 6 3对分割二次后的图形

对三角形ABC,任意两点间的电阻r B5 r 6

A

读题

Cr 2

可见,分割三次后的图形

2 5 R2 r 3 6 3

2

2 125 5 R3 r r 3 234 6

递推到分割n次后的图形

2 5 Rn r 3 6

n

5 6 r

2

5r 12

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如图所示的平面电阻丝网络中，每一直 线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r.试求A、B两点间 的等效电阻.

解:B B A B B A

B

A

A

RAB

3 r 4

r

A

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解:

三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连 接成如图所示的网络.已知每一个金属圆圈的电阻都是R, 试求图中A、B两点间的等效电阻RAB.三个金属圈共有六个结点，每四分之 一弧长的电阻R/4. A 将三维金属圈“压扁”到AB 所在平面并“抻直”弧线成下图R 4

RAB

R R R 8 8 2 R R R 8 8 2

B

R 8

AR 4

5 R 48

B

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正四面体框架形电阻网络如图所示，其中每一小 段电阻均为R.试求RAB和RCD. E

解:

RABE D F G H

3 r 4I LB C

E HR 2R 4

DR 2

I L B C

F

R 2

IR2

H

G B A 甲

A

2R

乙R 2 R 2

R 2

R 2

C

D

RCD

3 r 8

A 甲

丙

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解:

试求框架上A、B两点间的电阻RAB.此框架是用同种细金 属制作的，单位长度的电阻为ρ.一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷， 如图所示.取AB边长为a,以下每个三角形的边长依次减少一半.

解题方向:由于对称，可将AB中垂线上各电势点拆分，原电路变换为图乙，我们看到这是一个具有自相似性的无限 网络，其基本单元如图丙

AB A

A A

B B

A R B An

R Rx 2R

R

n

Bn R Bn

乙 丙 甲 当n→∞时，多一个单元，只是使Rx按边长同比增大，即 2 RRx 2R 2R 2 R Rx 2 Rx R x 2 RRx 2R 2R 2 R Rx

7 1 R RAB 3

7 1 a 3

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解:

返回 如图所示是由电阻丝连接成的无限电阻网络，已 知每一

段电阻丝的电阻均为r,试求A、B两点之间的总电阻. 解题方向:将原无限长立体正三棱柱框 B A 架沿左、右递缩为三棱台再“压”在 C AB所在平面，各电阻连接如图 AA

C

3 21 x r 6B

B

r

r 2

2r 3

r x r 由 3 r x r 3 x 3

RAB

2 21 r 21

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田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电 阻均为R,试求网络中A、B两点间的等效电阻RAB.

专题19-例4

解 : I R

AB

ROI I 2 24 5I I 24 8

I I I 5I R 2R 2 24 8 24 A

B

RAB

29 R 24

O

B

O

B

R 2

A

A

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如图所示的一个无限的平面方格导线网，连接两 个结点的导线的电阻为r0,如果将A和B接入电路，求此导线网的等 效电阻 …… 此处隐藏：1519字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……