2.4.2抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质

2.4.2抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质范围 对称性 顶点 离心率 基本元素

抛物线的简单几何性质

复习： 复习：一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 焦点。 N lM

准线。 定直线l 叫做抛物线的准线。

· ·F

即:

︳ ︳ MF 若 = 1, 则点M的轨迹是抛物线 ︳ ︳ MN

抛物线的简单几何性质

复习： 复习：

二、抛物线的标准方程设︱KF︱= p ︱ p p 则F( 2 ,0), :x = ( ),l: ), 2 设点M的坐标为 的坐标为( , ), 设点 的坐标为(x,y), 由定义可知， 由定义可知， N

y lM

K o

· ·F

x

p2 p ( x ) + y2 = x + 2 2化简得

y2 = 2px(p>0) ( > )

抛物线的简单几何性质

复习： 复习：2 方程 y

= 2px(p>0)叫做 ( > )

抛物线的标准方程 为正常数，它的几何意义是: 其中 p 为正常数，它的几何意义是

焦点到准线的距离想 一 想 ？ ?

选择不同的位置建 立直角坐标系时, 立直角坐标系时, 情况如何? 情况如何?

抛物线的简单几何性质

﹒ ﹒ ﹒y

图 形 o

焦

点

准 线

标准方程

x

y

o

x

y

o

x y

﹒o

x

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问题： 问题：根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形，焦点坐标， 的不同形式与图形，焦点坐标，准 线方程对应关系如何判断抛物线的 焦点位置，开口方向？ 焦点位置，开口方向？ 第一：一次项的变量如为X,则 第一：一次项的变量如为X,则X轴为抛物线 的对称轴，焦点就在对称轴X轴上呀！ 的对称轴，焦点就在对称轴X轴上呀！ 一次项的变量如为Y,则 一次项的变量如为Y,则Y轴为抛物线的对称 焦点就在对称轴Y轴上呀！ 轴，焦点就在对称轴Y轴上呀！ 第二：一次变量的系数正负决定了开口方向 第二： 的系数正负 正负决定了开口方向

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练习1 )已知抛物线的标准方程是y 练习1(1)已知抛物线的标准方程是 2 = 6x, ,求它的焦点坐标和准线方程； 求它的焦点坐标和准线方程； 3 焦点F ,0 2 3 准线方程 : x = 2

(2)已知抛物线的方程是 = -6x2, )已知抛物线的方程是y 求它的焦点坐标和准线方程； 求它的焦点坐标和准线方程； (3)已知抛物线的焦点坐标是 (0,-2), )已知抛物线的焦点坐标是F( , ), 求它的标准方程。 求它的标准方程。1 焦点F 0, 24 1 准线方程 : y = 24

标准方程为 : x = 8 y2

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练习2 求过点A( , )的抛物线的标准方程。 练习2 求过点 (-3,2)的抛物线的标准方程。解：当抛物线的焦点在y轴 当抛物线的焦点在 轴 的正半轴上时， 的正半轴上时，把A(-3,2) ( , ) 代入x 代入 2 =2py,得p= ,

9 4

.A

y

当焦点在x轴的负半轴上时， 当焦点在 轴的负半轴上时， 轴的负半轴上时

把A(-3,2)代入 2 = -2px, ( , )代入y , 得p=

O

x

4 9 2= 2= x y或 y ∴抛物线的标准方程为x 3 2

2 3

。

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练习3 练习3

M是抛物线 2 = 2px(P>0)上一点，若点 是抛物线y 是抛物线 ( > )上一点， M 的横坐标为 0,则点 到焦点的距离是 的横坐标为X 则点M到焦点的距离是

X0 +这就是抛 物线的焦 半径公式!

————————————

— 2

p

y

O F

. .M

x

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练习4 练习根据下列条件，写出抛物线的标准方程： 根据下列条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是 (3,0); )焦点是F( , );

y2 =12x y2 =x =4x、 y2 = -4x、 、 、 x2 =4y 或 x2 = -4y

1 (2)准线方程 是x = ; ) 4(3)焦点到准线的距离是 。 y2 )焦点到准线的距离是2。

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填表:下列抛物线的焦点坐标和准线方程 练习5 填表 下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1(1)y2 = 20x ) (2)x2= )2

y

(3)2y2 +5x =0 )

(4)x2 +8y =0 )

焦点坐标

准线方程

(1) ) (2) ) (3) ) (4) )

(5,0) , )1 (0,—) , ) 8 5 (- —,0) , ) 8

x= -51 y= - — 8 5 x= — 8

(0,-2) , )

y=2

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新授内容Y

一、抛物线的范围: y2=2px X ≥ 0X

y取全体实数

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新授内容Y

二、抛物线的对称性 y2=2px关于X 关于X轴对称 没有对称中心， 没有对称中心，因 此，抛物线又叫做 无心圆锥曲线。 无心圆锥曲线。 而椭圆和双曲线又 叫做有心圆锥曲线

X

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新授内容Y

三、抛物线的顶点 y2=2px定义 ：抛物线 与对称轴的交点， 与对称轴的交点， 叫做抛物线的顶 点 只有一个顶点

X

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新授内容Y

四、抛物线的离心率 y2=2px

X

所有的抛物 线的离心率 都是 1

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新授内容Y

五、抛物线的基本元素 y2=2px基本点：顶点， 基本点：顶点，焦点 基本线：准线，对称轴 基本线：准线，X

基本量：P(决定 基本量： 抛物线开口大小) 抛物线开口大小)