第五章 傅里叶变换应用于通信系统5月19日

第五章 傅里叶变换应用于通信系统—滤波、调制与抽样

江禹生

5.1 利用系统函数H j 求响应

一、线性时不变系统的频域特性

H j

R j Ej H j 是角频率 的复函数，可写为H j H j ej

H j 称为幅频特性，是角频率为 的输出与输入信号幅度之比；

称为幅频特性，是角频率为 的输出与输入信号的相位差。

H j 又称为频域中的系统函数。

H j H ss j 当H s 在虚轴上及右半平面无极点时有 h t

二、系统响应r t 的频域分析法

由傅里叶变换定义知：任意信号（只要其傅里叶变换存在）可以分解成许多不同频率的虚指数函数的叠加。即：

E j d 1 j tj t

e t Ej ed e 2 2

信号分解的基本单元函数是虚指数函数ej t（两个对应的正负虚指数函数合成一个正弦信号，所以基本单元函数实际上是等幅正弦信号）

1、当激励是虚指数函数ej t时的响应（零状态响应）

r t h t ej t h ej t d h e j d ej t

令 H j h e j d

则 r t H j ej t

上式表明：当激励是幅度为1的虚指数函数时，系统的响应是系数为H j 的同频率的虚指数函数，H j 反映了响应r t 的幅度和相位。

2、当激励为任意信号e t 时的响应

1e t

2

E j e

j t

d

E j d j t

e

2

(j )ej t

E j j t

e2

E j d 2

j d j t

2 e1 j t

Ej Hj ed r t 2

r t

1

2

E j H j ej td

12

R j ej td

故 R j H j E

j 事实上

r t h t e t

R j H j E j

由此可见 h t H j

从物理概念来讲，如果激励信号的频谱密度函数为E j ，则响应的频谱密度函数便是H j E j ，系统改变了激励信号的频谱。系统的功能是对信号各频率分量进行加权，某些频率分量增加，而另一些分量则相对削弱或不变。而且，每个频率分量在传输过程中都产生各自的相位移。这种改变的规律完全由系统函数H j 所决定，H j 是一个加权函数，把频谱密度为E j 的信号改造为

R j H j E j 的响应信号。

冲激响应h t 反映了系统的时域特性，而频率响应H j 反映了系统的频域

特性。

通常定义 H j

R j Ej H j 是角频率 的复函数，可写为H j H j ej

H j 称为幅频特性，是角频率为 的输出与输入信号幅度之比；

称为幅频特性，是角频率为 的输出与输入信号的相位差。

利用频域函数分析系统问题的方法常称为频域分析法或傅里叶变换法。 3、时域分析与频域分析关系

时域：r t h t e t 频域：R j H j E j

时域

e t

LTI系统

r t

频域

E j LTI系统

Rj

例5.1.1 如图1所示滤波器，已知其频率特性H 如图

2所示，其相频特性

0，若输入信号f t 为图3的周期锯齿波，求输出信号下y t 。

(t)

图1

H( )

f(t)

40

4

2

1

1

2

t

图2 图3

解：求F

先求单脉冲f0 t 的傅里叶变换。

t

利用微分性质，对f0 t 取微分

'

由图可知

1

f0' t u t u t 1 t 1 G1 t t 1

2

j

f t j F0 Sa e2 e j

2

'0

1 j j 2

F0 Sa e e

j 2 则周期信号f t 的傅里叶级数的系数为

11

Fn F0 |

n 1

Tjn 1T因为 T 1， 1 所以 Fn

2

2 T

1

n 1 jn jn 1 2Sae e

2

j

，n 0 2n 1F0

2

则f t 的傅里叶变换为

F 2

n

F n

n

1

jj

4 j 2 j 2 4 22

经滤波器后，输出信号的傅里叶变换为

Y F H j 2 2 j 2

取傅里叶逆变换，得

1 j2 t1j2 t1

y t je 1 je 1 sin2 t

2 2

例5.1.2 一抑制载波振幅调制系统入图（a）所示，

sint

cos1000t t 已调信号：e t t

本振信号：s t cos1000t t 低通滤波器的传输函数如图（b）所示，求输出信号r t 。

t

H

0

1

1

（a） （b） 解：由于 g2 t 2Sa 根据傅里叶变换的对称性，有

2Sa t 2 g2 即

1

Sa t g2

利用傅里叶变换频移特性（调制特性），得e t 的频谱为

sint E F e t F cos 1000t

t

1

g2 1000 g2 1000 2

再次利用傅里叶变换频移特性（频移特性），得低通滤波器输入的频谱为

sint

F e t s t F cos 1000t cos 1000t

t

1

g2 2000 g2 2000 2g2 4

由题图（b）图可得系统的频率响应为

H g2

因此，系统输出的频谱为

R I e t s t H

11

g 2000 g 2000 2g g g2 2222 42

取逆变换得系统的输出为

sintr t

2 t

sin2t

例5.1.3 如下图所示的系统，已知乘法器的输入e t ，s t cos3t，

t

1

系统的频率响应 H j

0

3

3，求输出r t 。

Hj r t

H j 1

3

03

解：由题图可知，乘法器的输出信号为

x t e t s t

根据傅里叶频域卷积定理得，频谱函数为

1

X j E j S j

2 式中e t E j ，s t S j

2sin

G t Sa

2

取 4

2sin2

G4 t

sin2t1

2 G4 G4 t2

sin2t

即 E j I et I G4 t

又

S j I s t I cos3t 3 3

X j

1

G4 3 3 2

G4 3 G4 3 2

X j

2

5 3 1

13

5

系统的频率响应可写为

H j G6

故 系统响应r t 的频谱函数

R j H j X j G6

G4 3 G4 3 2

G2 2 G2 2 2

1

G2 2 2 2

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