第二章 第三节 函数的单调性与最值

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

函数的单调性与最值 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何 理解函数的单调性、最大值、 理解函数的单调性 意义. 意义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的性质. .会运用函数的图象理解和研究函数的性质.

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

[理 要 点] 理 一、函数的单调性 1.单调函数的定义 . 增函数 减函数

设函数f(x)的定义域为 如果对于定义域 内某个区间 的定义域为I.如果对于定义域 设函数 的定义域为 如果对于定义域I内某个区间 D上的任意两个自变量 1,x2, 上的任意两个自变量x 上的任意两个自变量 当x1<x2时，都有 当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) , 定义 f(x )<f(x ) 1 2 ,那么就 那么就说函数f(x)在区间 上是 在区间D上是 那么就说函数 在区间 说函数f(x)在区间 在区间D 说函数 在区间 减函数 上是增函数

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

增函数

减函数

图象 描述 自左向右看图象 是 逐渐上升 自左向右看图象是 逐渐下降

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

2.单调区间的定义 . 若函数f(x)在区间 上是 若函数 在区间D上是 增函数 或 减函数 ，则称函数 在区间 f(x)在这一区间上具有 严格的 单调性， 区间 叫做 在这一区间上具有(严格的 单调性， 区间D 叫做f(x) 在这一区间上具有 严格的)单调性 的单调区间. 的单调区间.

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

二、函数的最值 前提 设函数y= 的定义域为I, 设函数 =f(x)的定义域为 ，如果存在实数 满足 的定义域为 如果存在实数M满足 ①对于任意x∈I,都有 对于任意x∈I, f(x)≤M ≤ ①对于任意x∈I, 对于任意 ∈ , f(x)≥ 都有 ≥M

条件

②存在x0∈I,使得 存在 ， = 存在x ②存在 0∈I,使得 f(x0)=M f(x )=M , 0 = M为最大值 为最大值 M为最小值 为最小值

结论

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

[究 疑 点] 究 1.如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)函数， .如果一个函数在定义域的几个区间上都是增 减 函数 函数， 能不能说这个函数在其定义域上是增(减 函数 函数？ 能不能说这个函数在其定义域上是增 减)函数？1 提示：不能， 提示：不能，如f(x)=x,及f(x)=tanx. = =

2.函数f(x)在区间 ，b]上单调递增与函数 的单调递增 .函数 在区间 在区间[a, 上单调递增与函数 上单调递增与函数f(x)的单调递增 区间为[a, 含义相同吗 含义相同吗？ 区间为 ，b]含义相同吗？ 提示：含义不同. 在区间 在区间[a, 上单调递增并不 提示：含义不同.f(x)在区间 ，b]上单调递增并不 能排除f(x)在其他区间单调递增， 能排除 在其他区间单调递增，而f(x)的单调递增区 在其他区间单调递增 的单调递增区 间为[a, 意味着 在其他区间不可能单调递增. 意味着f(x)在其他区间不可能单调递增 间为 ，b]意味着 在其他区间不可能单调递增.

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

[题组自测 题

组自测] 题组自测 1.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是 .下列函数中，在区间 上是增函数的是 A.y=|x| . = 1 C.y=x . = B.y=3-x . = - D.y=- 2+4 . =- =-x ( )

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

1 解析： = - 在 上递减 = 上递减， ,+∞ 上递减， 解析：y=3-x在R上递减，y= x 在(0,+∞)上递减，y ,+ 上递减 =-x2+4在(0,+∞)上递减. ,+∞ 上递减. =- 在 ，+ 上递减

答案： A 答案：

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

2.下列说法正确的是 .

(

)

A.定义在(a,b)上的函数 ，若存在 1<x2,有f(x1)<f(x2), .定义在 ， 上的函数 上的函数f(x),若存在x , 那么f(x)在 ， 上为增函数 那么 在(a,b)上为增函数 B.定义在(a,b)上的函数 ，若有无穷多对 1,x2∈(a, .定义在 ， 上的函数 上的函数f(x),若有无穷多对x , b),使得当x1<x2时，有f(x1)<f(x2),那么 在(a,b)上为 ，使得当 ，那么f(x)在 ， 上为 增函数 C.若f(x)在区间 1上为增函数，在区间 2上也为增函数， . 在区间I 在区间 上为增函数，在区间I 上也为增函数， 那么f(x)在 那么 在I1∪I2上也一定为增函数 D.若f(x)在区间 上为增函数，且f(x1)<f(x2)(x1,x2∈I),那 . 在区间I上为增函数 在区间 上为增函数， , 么x1<x2

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

解析：对于 、 ,由于x 不是任意的，故不满足定义， 解析：对于A、B,由于 1,x2不是任意的，故不满足定义， 1 所以错误.对于C, =- ,+∞ 所以错误.对于 ，如y=- x 在(-∞,0)和(0,+∞)上均为 - 和 ，+ 上均为 增函数，但在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上却不是单调函 增函数，但在区间 - ∪ ,+∞ 上却不是单调函 ，+ 错误， 数，故C错误，而对于 ，由增函数定义知其正确. 错误 而对于D,由增函数定义知其正确.

答案： 答案：D

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

x+2 + 3.利用单调性的定义证明函数 = ,+∞ .利用单调性的定义证明函数y= 在(-1,+∞)上是减 - ,+ 上是减 x+1 + 函数. 函数.证明： 证明：设x1>x2>-1, - , x1 + 2 x2 + 2 x2-x1 . 则y1-y2= - = x1+1 x2+1 (x1+1)( 2+1) )(x )( ) ∵x1>x2>-1,x2-x1<0,x1+1>0,x2+1>0, - , , , , x2-x1 <0,即y1-y2<0,y1<y2. ∴ , , )(x (x1+1)( 2+1) )( ) x+2 + ,+∞ 上是减函数. ∴y= = 在(-1,+∞)上是减函数. - ,+ 上是减函数 x+1 +

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

ax 4.试讨论函数 f(x)= 2 的单调性(其中 ≠ . . = ,x∈(-1,1)的单调性 其中 a≠0). ∈- 的单调性 x -1

解：法一：x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2, 法一： - , ax2 ax1 则 f(x2)-f(x1)= 2 - = - 2 x2-1 x1-1 a(x1-x2)( 1x2+1) ( )(x ) . = )(x (x2-1)( 2-1) )( 1 ) 2 ∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1, , , , x1-x2<0,x2-1<0,x2-1<0,|x1x2|<1, , 1 ,

2 , , 即-1<x1x2<1, , ∴x1x2+1>0, ,

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

)(x (x1-x2)( 1x2+1) ) ∴ 2 <0. 2 )(x (x2-1)( 1-1) )( ) 因此， 因此，当 a>0 时，f(x2)-f(x1)<0, - , 即 f(x2)<f(x1),此时函数为减函数； ,此时函数为减函数； 当 a<0 时，f(x2)-f(x1)>0, - , 即 f(x1)<f(x2),此时函数为增函数. ,此时函数为增函数. a(x2+1) ( ) 法二： ′ =- 法二：f′(x)=- 2 ,x∈(-1,1) ∈- (x -1)2 ) ∴a>0 时 f′(x)<0,此时函数为减函数. ′ ,此时函数为减函数. a<0 时 f′(x)>0,此时函数为增函数. ′ ,此时函数为增函数.

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 判断或证明函数单调性的常用方法： 判断或证明函数单调性的常用方法： 1.定义法. .定义法. 第一步：取值，即设 是该区间内任意两个值且x 第一步：取值，即设x1、x2是该区间内任意两个值且 1<x2; 第二步：作差，即作差 第二步：作差，即作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、配方、 - , …… 此处隐藏：2239字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……